Question

5. (FUVEST) Qual o menor valor de 1 /3-cos x

Answer 1

Sabemos que $\cos x$ varia entre $-1$ e $1:$

$-1\leq \cos x\leq 1$


Se multiplicarmos a desigualdade acima por $(-1),$ o sentido da desigualdade se inverte,

$(-1)\cdot (-1)\geq (-1)\cdot \cos x\geq (-1)\cdot 1\\ \\ 1\geq -\cos x\geq -1$


que é equivalente a escrever

$-1\leq -\cos x\leq 1$


Adicionando $\dfrac{1}{3}$ a todos os membros da última desigualdade acima, temos

$\dfrac{1}{3}-1\leq \dfrac{1}{3}-\cos x\leq \dfrac{1}{3}+1\\ \\ \\ \dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{3}\leq \dfrac{1}{3}-\cos x\leq \dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{3}\\ \\ \\ \dfrac{1-3}{3}\leq \dfrac{1}{3}-\cos x\leq \dfrac{1+3}{3}\\ \\ \\ -\dfrac{2}{3}\leq \dfrac{1}{3}-\cos x\leq \dfrac{4}{3}$


Da última desigualdade acima, concluímos que o menor valor assumido por $\left(\dfrac{1}{3}-\cos x\right)$  é

$-\dfrac{2}{3}.$