Question

5 exercícios de PG resolvidos:

Answer 1

1)A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa progressão.   

Razão da progressão: 6 : 2 = 3

an = a1 * q n–1
a8 = 2 * 3 8–1
a8 = 2 * 3 7
a8 = 2 * 2187
a8 = 4374
 

2)Determine a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 3, 9, 27).

Vamos identificar a razão q dessa PG:

q = a2
     a1
q = 3
     1
q = 3

Identificada a razão q = 3, vamos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos:

Sn = a1(qn – 1)
         q – 1
S10 = 1(310 – 1)
         3 – 1
Sn = 59049 – 1
        3 – 1
Sn = 59048
       2
Sn = 29524

3) Encontre o terceiro termo da PG (3, 6, 12 , 24, …) sabendo que a razão é igual a 2:

a1 = 3…………….a3 = 3 . 2 ²

r = 2………………a3 = 3 . 4

n = 3……………..a3 = 12

a3 = ?

4)Numa  PG de quatro termos, o primeiro é -4 e a razão é 3. Determine o último termo.

a1 = -4……………a4 = (-4) . 3 ³

r = 3………………a4 = (-4) . 27

n = 4……………..a4 = -108

a4 = ?

5) Calcular o 1º termo de uma P.G. cujo 6º termo vale 1 e a razão 2.

An = a1 . Qn-1

a6 = a1 . Q6 - 1 = a1 . 25  = 1

a1 = 1/32

Answer 2

Denominam-se progressões geométricas sequências numéricas formadas por números que representam o produto entre seus respectivos imediatos antecessores e um valor padrão denominado razão.

Abaixo, esse conceito será observado em 5 exercícios de PG resolvidos.

Desenvolvimento da Resposta:

• Exercício 1: Qual é a fórmula geral de uma progressão geométrica?

A fórmula que generaliza a dinâmica das PGs é a seguinte: aₙ = a₁ . qⁿ⁻¹, onde aₙ = enésimo termo, a₁ = primeiro termo, n = posição cardinal e q = razão.

Nos demais exercícios de PG resolvidos, essa fórmula será de uso imprescindível.

• Exercício 2: Determine o décimo termo da P.G (1, 2, 4, ...)

Já sabemos que a₁ (primeiro termo) = 1 e que q (razão*) = 2, pois 4/2 = 2 e 2/1 = 2.

* A razão em uma progressão geométrica corresponde ao número pelo qual multiplicamos um termo para encontrar seu sucessor. É importante observar que divisões também são multiplicações. (Ex.: 8/2 = 1/2 x 8)

Então, podemos trabalhar com a fórmula da seguinte maneira:

$a_{10} = 1 . 2^{10-1}$

$a_{10} = 1 . 2^{9}$

$a_{10} = 1 . 512$

$a_{10} = 512$

Logo, o décimo termo dessa P.G é 512.

• Exercício 3: Insira 4 meios geométricos entre 2 e 486, nesta ordem

Quando pede-se inserir 4 meios geométricos entre 2 e 486, quer-se que seja montada uma progressão geométrica cujo elemento inicial é 2, seguido de 4 elementos e terminada em um elemento final igual a 486.

a₁ = 2

a₆ = 486

Tomando n = 6, temos:

a₆ = a₁ . q⁽ⁿ⁻¹⁾

486 = 2 . q⁽⁶⁻¹⁾

486 = 2 . q⁵

q⁵ = 486/2

q⁵ = 243

q = ⁵√243

q = 3

Sabemos que a razão da P.G é igual a 5. Logo, inserir entre 2 e 486 os seguintes elementos: 2 - 6 - 18 - 54 - 162 - 486

• Exercício 4: Quantos meios geométricos devem ser inseridos entre 10 e 1000000000 de modo que a sequencia obtida tenha razão 10?

Na situação do exercício, a₁ = 10, aₙ = 1.000.000.000 e q = 10.

Assim temos:

$1.000.000.000 = 10 . 10^{(n-1)}$

$\frac{1000000000}{10} = 10^{(n-1)}$

$100.000.000 = 10^{(n-1)}$

$10^{8} = 10^{(n-1)}$

n - 1 = 8

n = 9

Então, 1.000.000.000 é o 9º termo da PG. Logo, entre 10 e 1.000.000.000, devem ser inseridos 7 termos.

• Exercício 5: No ano de 2010, foram registrados no Brasil 972 casos de um novo tipo de gripe. Com o desenvolvimento de uma vacina, no ano de 2015, o número de casos foi apenas 4. Admitindo que os números de casos registrados a cada ano, de 2010 a 2015, foram uma progressão geométrica, calcule o total de casos dessa gripe durante todo o período.

a₁ = 972

aₙ = a₆ = 4

aₙ = a₁ . qⁿ⁻¹

4 = 972 . q⁶⁻¹

4 = 972 . q⁵

q⁵ = 4/972

q⁵ = 1/243

q = 1/3

Logo, o número de casos de gripe registrados de 2010 a 2015 é representado - respectivamente - pela seguinte P.G: 972 - 324 - 108 - 36 - 12 - 4.

Agora, apresentados 5 exercícios de PG resolvidos, você pode treinar seus conhecimentos sobre progressões geométricas solucionando sozinho mais exercícios cujos links seguem abaixo.

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Matéria: Matemática

Nível: Médio