Question

5) Em uma classe de 35 alunos, constatou-se que três fazem aniversário no mesmo dia. Escolhendo ao acaso dois alunos, qual a probabilidade de eles fazerem aniversário no mesmo dia?

Answer 1

A quantidade total de maneiras distintas de se sortearem dois alunos entre os $35$ é dada pela seguinte combinação

$C_{35,2}= \frac{35!}{2! \cdot \left(35-2\right)!}= \frac{35!}{2! \cdot 33!} =\frac{35 \cdot 34 \cdot 33!}{2! \cdot 33!} \\ \\ C_{35,2}=\frac{35 \cdot 34}{2 \cdot 1}$

A quantidade total de maneiras distintas de se sortearem dois alunos que fazem aniversário no mesmo dia, é o número total de combinações diferentes desses três alunos, ao escolhermos apenas dois deles, ou seja

$C_{3,2}= \frac{3!}{2! \cdot \left(3-2\right)!}= \frac{3!}{2! \cdot 1!} =\frac{3 \cdot 2!}{2! \cdot 1!} \Rightarrow C_{3,2}=3$

Logo, temos apenas $3$ maneiras entre um total de $C_{35,2}$ de sortearmos dois alunos que fazem aniversário no mesmo dia. Dessa forma,  a probabilidade procurada é dada por

$p= \frac{C_{3,2}}{C_{35,2}} = \frac{3}{ \frac{35 \cdot 34}{2 \cdot 1} } \\ \\ p=3\times\frac{2 \cdot 1}{35 \cdot 34}= \frac{3 \cdot 2}{35 \cdot 34} = \frac{3 \cdot 1}{35 \cdot 17} \\ \\ p = \frac{3}{595} \approx 0,5\%$