Question

5-Determine o valor de K para que a f(x) = 5x 2 -2x+K possua duas raízes reais.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{K\leq \dfrac{1}{5}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos determinar o valor de $K$ para que a função $f(x)=5x^2-2x+K$ possua duas raízes reais.

Para isso, devemos nos lembrar do discriminante delta.

Sabemos que dada uma função quadrática completa de coeficientes reais $f(x)=ax^2+bx+c$, tal que $a\neq 0$, seu discriminante delta pode assumir três valores e, por conseguinte, a relação entre as raízes:

• Quando $\Delta>0$, a função apresenta duas raízes reais e distintas entre si.
• Quando $\Delta=0$, a função apresenta duas raízes reais e iguais.
• Quando $\Delta<0$, a função apresenta duas raízes complexas conjugadas.

Neste caso, estamos interessados em determinar o valor da constante $K$ de forma que a função possua duas raízes reais (porém, deduz-se que são distintas), em outras palavras, que o discriminante dela seja maior ou igual a zero.

Sabemos que seu discriminante é calculado pela seguinte forma dados os coeficientes $a,~b$ e $c$ da função:

$\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c$

Veja que neste caso, temos a função $f(x)=5x^2-2x+K$, logo seus coeficientes são: $a=5,~b=-2$ e $c=K$. Substituindo estes valores, temos:

$\Delta=(-2)^2-4\cdot 5\cdot k$

Então, calcule a potência e multiplique os valores

$\Delta=4-20K$

Então, faça $\Delta\geq0$, assim teremos:

$4-20K\geq0$

Some $20K$ em ambos os lados da inequação

$20K\leq4$

Divida ambos os lados da equação por $20$

$K\leq\dfrac{1}{5}$

Então, isto significa que $K$ pode assumir qualquer valor real, contanto que seja menor ou igual a $\dfrac{1}{5}$, para que a função apresente duas raízes reais.