Question

5-) Calcule a área do triângulo ABC de altura H=
$\sqrt{2} cm. \: se \: \alpha = 30 {}^{o} \: e \: e \: \beta = 45 {}^{o} \:$

Answer 1

a formula da area de um triangulo é
$a = \frac{b \times h}{2}$
b:Base
h:altura
a:area
Mas nos so temos a altura mas temos o valores dos angulos para fazer relaçao de seno,cosseno ou tangente cabe a nos o q usar:

para descobrir a base nos teremos q usar tangente nos 2 casos
primeiro vamos ao angulo 30
$\tan(30) = \frac{ x}{ \sqrt{2} } \\ \frac{ \sqrt{3} }{3} = \frac{x}{ \sqrt{2} } \\ 3x = \sqrt{3} \times \sqrt{2}$
$x = \frac{ \sqrt{6} }{3}$
agora iremos fazer a relaçao de tangente no angulo 45
$\tan(45) = \frac{y}{ \sqrt{2} } \\ 1 = \frac{y}{ \sqrt{2} } \\ y = \sqrt{2}$
agora a medida da base é x+y entao

$b = ( \sqrt{2} + \frac{ \sqrt{6} }{3} )$
agora so so substituir na formula da area do triangulo
$a = \frac{( \sqrt{2} + \frac{ \sqrt{6} }{3} ) \times \sqrt{2} }{2}$
$a = \frac{ \sqrt{4} + \frac{ \sqrt{12} }{3} }{2}$
$a = \frac{2 + \frac{ \sqrt{12} }{3} }{2 }$
$a = (\frac{2}{1} + \frac{ \sqrt{12} }{3}) \times \frac{1}{2}$
$a = \frac{2}{2} + \frac{ \sqrt{12} }{6}$
$a = 1 + \frac{ \sqrt{12} }{6}$
$a = 1 + \frac{2 \times \sqrt{3} }{6}$

Answer 2

$\large \sf A \ \'area \ do \ tri\^angulo \ \'e: \ \left(\dfrac {\sqrt 3}{3} + 1 \right)$

******************************

• Se h é altura do triângulo então no ponto H há dois ângulos retos. Pode-se portanto aplicar as razões trigonométricas no triângulo retângulo.

$\large \sf tangente = \dfrac{cateto \ oposto}{cateto \ adjacente}$

• Considere n o segmento AH e m o segmento HB.

• No triângulo CHB:

$\large \sf tg \ 45 ^\circ = \dfrac{m}{h}$

m = h ⋅ tg 45° ⟹ Sendo tg 45° = 1, substitua.

m = h ①

• No triângulo CAH:

$\large \sf tg \ 30 ^\circ = \dfrac{n}{h}$

n = h ⋅ tg 30° ⟹  $\large \sf Sendo \ tg \ 30 ^\circ = \dfrac{\sqrt 3}{3}, \ substitua.$

$\large \sf n = h \cdot \dfrac{\sqrt 3}{3}$  ②

• A área do triângulo é obtida por:

$\large \sf A = \dfrac{b \times h}{2}$  onde:

b: base do triângulo (n + m) ③.

h: altura do triângulo.

• Substitua as equações ①, ② e ③ na fórmula da área.

$\large \sf A = \dfrac{(n + m) \times h}{2}$

$\large \text { \sf A = \dfrac{\left(h \cdot \dfrac {\sqrt 3}{3} + h \right) \times h}{2} }$  ⟹ Fatore (fator comum em evidência).

$\large \text { \sf A = \dfrac{\left(\dfrac {\sqrt 3}{3} + 1 \right) \times h^2}{2} }$  ⟹ Execute a divisão por 2.

$\large \sf A = \left(\dfrac {\sqrt 3}{6} + \dfrac {1}{2} \right) \times h^2$   ⟹ Substitua h por √̅2̅.

$\large \sf A = \left(\dfrac {\sqrt 3}{6} + \dfrac {1}{2} \right) \times \sqrt {2} \ ^{^2}$

$\large \sf A = \left(\dfrac {\sqrt 3}{6} + \dfrac {1}{2} \right) \times 2$

$\large \sf A = \left(\dfrac {\sqrt 3}{3} + 1 \right)$

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