Question

48. um polinomio p(x), dividido por x-1, dá resto 2 e, dividido por x-1, dá resto 3. qual é o resto da divisao de p(x) por (x-1).(x+1)?

Answer 1

$Numa \ divis\tilde{a}o \ de \ polin\hat{o}mios \ temos \ que \ : \\ \\ \boxed{\delta r \ \textless \ \delta g} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ \\ Onde \ o \ s\acute{i}mbolo \ \mathbf{\delta} \ representa \ o \ grau \ do \ polin\hat{o}mio. \\ Temos \ que \ \mathbf{r} \ \acute{e} \ o \ resto \ da \ divis\tilde{a}o \ de \ \mathbf{P(x)} \ pelo \ divisor \ \mathbf{g} \ . \\ \\ Seja \ \ g(x) \ = (x-1).(x+1) \Rightarrow \ g(x) \ = \ x^2-1$

$Utilizando \ a \ rela\c{c}\tilde{a}o \ apresentada \ em \ (1) \ temos \ que \ \delta g = 2 \ , \\ logo \ \delta r = 1 \ ou \ \delta r \ = \ 0 . \ Com \ isso \ podemos \ escrever \ : \\ \\ r(x) = ax+b$

$Pelo \ \mathbf{Teorema \ do \ Resto} \ , temos \ que : \ o \ resto \ da \ divis\tilde{a}o \\ de \ um \ polin\hat{o}mio \ \mathbf{P} \ por \ \mathbf{x-a} \ \acute{e} \ igual \ ao \ valor \ num\acute{e}rico \ de \\ \mathbf{a} \ em \ \mathbf{P} \ . \ Logo : \\ \\ r \ = \ P(a)$

$Utilizando \ esse \ teorema \ podemos \ escrever : \\ \\ P_{(1)} \ = \ 2 \\ r_{(1)} \ = \ 2 \\ \\ Como \ r(x) \ = \ ax+b \ e \ fazendo \ x=+1 \\ \\ a.(+1) \ + b \ = \ 2 \\ a + b \ = \ 2$

$Fazendo \ o \ mesmo \ processo \ para \ o \ outro \ divisor \ de \ P(x) \ : \\ \\ P(-1) \ = \ 3 \\ r(-1) \ = \ 3 \\ \\ Sendo \ r(x) \ = ax +b \ e \ adotando \ x = -1 \\ \\ a.(-1)+b=3 \\ -a+b=3$

$\left\{\begin{matrix} a & + & b & = & 2\\ -a & + & b & = & 3 \end{matrix}\right.$

$Resolvendo \ o \ sistema \ temos$ 

$a \ = \ -\frac{1}{2} \ \ e \ \ b \ = \ \frac{5}{2} \ . \\ \\ Logo \ o \ resto \ : \ r(x) \ = \ - \frac{1}{2}.x + \frac{5}{2}$