Question

47) Dada a equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea y"+5y'+6y=0e as condições
iniciáis y(0)=2 e y'(0)=3,podemos afirmar que a equação que fornece a solução de valor inicial é:
a) y=9e-7e"
b) y=9e²-7e"
c) y=9e² +7e-
d) y = 7e²-9e"

Answer 1

Temos a EDO $y''+5y'+6y=0$. Vamos assumir que a solução seja uma função do tipo $y(x)=e^{rx}$. Então: $y'(x)=re^{rx}$ e $y''(x)=r^2e^{rx}$. Vamos, então substituir essas funções na nossa EDO.

$y''+5y'+6y=0$

$r^2e^{rx}+5re^{rx}+6e^{rx}=0$

Vamos colocar o termo $e^{rx}$ em evidência:

$r^2e^{rx}+5re^{rx}+6e^{rx}=0$

$e^{rx}\left(r^2+5r+6\right)=0$

Sabemos que $e^{rx}\ne0\ \forall{x}\in\mathbb{R}$, ou seja, para qualquer valor real de $x$, a função $e^{rx}$ não será igual a zero. Portanto, para que a equação acima seja verdadeira, precisamos que $r^2+5r+6=0$, o que nos resulta em uma equação do segundo grau, pois $r$ é um número. Então, vamos resolvê-la:

$r^2+5r+6=0$

$r=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}$

$r=\dfrac{-5\pm\sqrt{25-24}}{2}$

$r=\dfrac{-5\pm\sqrt{1}}{2}$

$r=\dfrac{-5\pm1}{2}$

$r_1=-3\mbox{ e }r_2=-2$

Portanto, pela linearidade da solução, temos que a equação geral é

$y(x)=c_1e^{-3x}+c_2e^{-2x}$

Agora, com as condições iniciais $y(0)=2$ e $y'(0)=3$, vamos descobrir os valores das constantes $c_1$ e $c_2$.

Primeiramente, $y(0)=c_1e^0+c_2e^0=c_1+c_2=2$. Então sabemos que $c_1+c_2=2$. Agora, tomando a derivada, temos:

$y(x)=c_1e^{-3x}+c_2e^{-2x}$

$y'(x)=-3c_1e^{-3x}-2c_2e^{-2x}$

Aplicando em $y'(0)=3$, obtemos:

$y'(0)=-3c_1e^{0}-2c_2e^{0}=-3c_1-2c_2=3$

Então sabemos que $-3c_1-2c_2=3$.

Assim, com as equações $c_1+c_2=2$ e $-3c_1-2c_2=3$, podemos resolver esse sistema e encontrar os valores de $c_1$ e $c_2$.

Assim, $c_1=-7$ e $c_2=9$.

Portanto, nossa função é:

$y(x)=-7e^{-3x}+9e^{-2x}$