Question

47 Calcule o valor de m na equação x² - 6x + 2m = 0, de modo que uma das raízes seja o dobro da outra.​

Answer 1

Primeiro usamos Bhaskara para obter as expressões que representam as raízes:

$\triangle=b^2-4.a.c=(-6)^2-4.1.2m=36-8m$

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\triangle} }{2a} =\frac{6+\sqrt{36-8m} }{2}$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\triangle} }{2a} =\frac{6-\sqrt{36-8m} }{2}$

Caso 1: A primeira raiz é o dobro da segunda:

$2\cdot x_1=x_2$

$2\cdot \frac{6+\sqrt{36-8m} }{2}=\frac{6-\sqrt{36-8m} }{2}$

$6+\sqrt{36-8m}=\frac{6-\sqrt{36-8m} }{2}$

$2(6+\sqrt{36-8m})=6-\sqrt{36-8m}$

$12+2\sqrt{36-8m}=6-\sqrt{36-8m}$

$2\sqrt{36-8m}+\sqrt{36-8m} =6-12$

$3\sqrt{36-8m}=-6$

$\sqrt{36-8m}=-\frac{6}{3}$

$\sqrt{36-8m}=-2$

Uma raiz quadrada não pode ser igual a um número negativo. Então o caso 1 não é possível.

Caso 2: A segunda raiz é o dobro da primeira:

$2\cdot x_2=x_1$

$2\cdot \frac{6-\sqrt{36-8m} }{2}=\frac{6+\sqrt{36-8m} }{2}$

$6-\sqrt{36-8m}=\frac{6+\sqrt{36-8m} }{2}$

$2(6-\sqrt{36-8m})=6+\sqrt{36-8m}$

$12-2\sqrt{36-8m}=6+\sqrt{36-8m}$

$-2\sqrt{36-8m}-\sqrt{36-8m}=6-12$

$-3\sqrt{36-8m}=-6$

$3\sqrt{36-8m}=6$

$\sqrt{36-8m}=\frac{6}{3}$

$\sqrt{36-8m}=2$

$36-8m=2^2$

$36-8m=4$

$-8m=4-36$

$-8m=-32$

$8m=32$

$m=\frac{32}{8}$

$m=4$

Concluímos então que, m = 4