Question

43. Resolva as equações logarítmicas:
b) $\log_6\sqrt{\dfrac{2+x}{3}}=\dfrac{1}{2}$
c) $\log_{-x-3}(2x-6)=7$
e) $\log_x^2 4-\log_x 16=-1$

Answer 1

b) $\mathrm{\ell og_6\,}\sqrt{\dfrac{2+x}{3}}=\dfrac{1}{2}$

$\sqrt{\dfrac{2+x}{3}}=6^{1/2}\\\\\\ \sqrt{\dfrac{2+x}{3}}=\sqrt{6}$


Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$\bigg(\sqrt{\dfrac{2+x}{3}}\bigg)^{\!2}=\big(\sqrt{6}\big)^{2}\\\\\\ \dfrac{2+x}{3}=6\\\\\\ 2+x=3\cdot 6\\\\ 2+x=18\\\\ x=18-2\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x=16 \end{array}}$


Conjunto-solução:   $S=\{16\}.$

________

c) $\mathrm{\ell og}_{-x-3}(2x-6)=7$

Condições de existência do logaritmo:

•   A base deve ser positiva, e diferente de 1:

$-x-3>0~~\text{ e }~~-x-3\ne 1\\\\ -x>3~~\text{ e }~~-x\ne 1+3\\\\ x<-3~~\text{ e }~~-x\ne 4\\\\ x<-3~~\text{ e }~~x\ne -4\quad\quad\mathbf{(i)}$


•    O logaritmando deve ser positivo:

$2x-6>0\\\\ 2x>6\\\\ x>\dfrac{6}{2}\\\\\\ x>3\quad\quad\mathbf{(ii)}$


Veja que é impossível satisfazer $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)}$ ao mesmo tempo. Logo, o conjunto solução é vazio:

$S=\varnothing.$

________

e) $\mathrm{\ell og}_x^2\,4-\mathrm{\ell og}_x\,16=-1$


Condição de existência: A base deve ser positiva e diferente de 1:

$x>0~~\text{ e }~~x\ne 1.$


Resolvendo a equação:

$(\mathrm{\ell og}_x\,4)^2-\mathrm{\ell og}_x(4^2)=-1\\\\ (\mathrm{\ell og}_x\,4)^2-2\,\mathrm{\ell og}_x\,4+1=0$


Faça a seguinte mudança de variável:

$\mathrm{\ell og}_x\,4=t\\\\ x^t=4\\\\ x=4^{1/t}$


Substituindo, a equação fica

$t^2-2t+1=0\\\\ (t-1)^2=0\\\\ t-1=0\\\\ t=1$


Voltando à variável $x,$ devemos ter

$x=4^{1/1}\\\\ x=4^1\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x=4 \end{array}}$


Conjunto-solução:    $S=\{4\}.$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)