Matemática, perguntado por idontknow29, 5 meses atrás

42. Analisando o gráfico da função quadrática, determine:

a) a lei dessa função;

b) as coordenadas do vértice da parábola;

c) o valor mínimo da função.

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo

Resposta:

(a) Lei da função: f(x) = x² - 4x

(b) Coordenadas do vértice: xv = -2 e yv = -4

Explicação passo a passo:

Solução:

a) A lei dessa função? É uma função do tipo y = f(x) = ax² + bx + c, onde

a ≠ 0, denominada função quadrática ou função do segundo grau. Atenção: x são os valores que estão no eixo horizontal e y no eixo vertical. O objetivo desse item é determinar os valores dos coeficientes a, b, c. Pelo gráfico de f(x) identificamos três pontos pertencentes a f(x).

São eles:

A = (x1 ; y1) = (-4 ; 0)

B = (x2 ; y2) = (-1 ; -3)

C = (x3, y3) = (0 ; 0)

Se A, B e C pertencem ao gráfico de f(x) podemos escrever:

y1 = a x1² + b x1 + c → 0 = a(-4)² + b(-4) + c → 16a - 4b + c = 0 → ( I )

y2 = a x2² + b x2 + c → -3 = a(-1)² + b(-1) + c → a - b + c = -3 → ( II )

y3 = a x3² + b x3 + c → 0 = a(0)² + b(0) + c → 0 = 0 + 0 + c → ( III )

Então, de ( III ) tiramos que c = 0. Agora, substitua c = 0 nas equações ( I ) e ( II ) e faça as continhas.

16a - 4b + 0 = 0 → 16a - 4b = 0 → ( I )

a - b + c = -3 → a - b = -3 ( II )

Desta forma restou um sistema 2 x 2 nas variáveis a e b. Se temos duas equações e duas variáveis, é o que basta para determinar os valores de a e b.

║16a - 4b = 0 ( I )

║a - b = -3 ( II )

Resolvendo pelo Método da Substituição:

a - b = -3 → a = b - 3 ( IV)

Fazendo ( IV ) em ( I ) fica:

16 (b - 3) - 4b = 0

16b - (16 . 3) - 4b = 0

16b - 4b - 48 = 0

12b - 48 = 0

12b = 48

b = 48/12

b = 4

Determinando o valor de a:

Se a - b = -3 → a - (4) = -3 → a = -3 + 4 → a = 1

Logo, a = 1 , b = 4 , c = 0

Como y = f(x) = ax² + bx + c

y = f(x) = 1x² + 4x + 0

y = f(x) = x² + 4x que é a lei da função procurada.

b) As coordenadas do vértice da função:

Seja V o vértice da função f(x) = x² + 4x e ainda, os seus coeficientes

a = 1 , b = 4 , c = 0. O Vértice é dado por V = (xv , yv) = (-b/2a , -▲/40), onde ▲ = b² - 4.a.c = 4² - 4 . 1 . 0 = 16 - 0 = 16. ▲ = 16 (delta)

xv = -b/2a = -4/(2 . 1) = 4/(-2) = -2 → xv = -2

yv = -▲/4.a = -16/(4 . 1) = -16/4 = -4 → yv = -4

Portanto as coordenadas do vértice V de f(x) são xv = -2 e yv = -4

c) O valor mínimo da função f(x)

O vértice de f(x) é um ponto de mínimo pois a concavidade da parábola está voltada para cima, ou ainda, o coeficiente a > 0. O vértice já determinamos no item (b) que é V = (-2 , -4). Sendo assim, o valor mínimo de f(x) é -4 para qualquer x real.

@sepauto

Sebastião Paulo Tonolli

10/08/2022

SSRC

Respondido por procentaury

a) Lei de formação da função: f(x) = x² + 4x

b) Coordenadas do vértice da parábola: V(−2, −4)

c) Valor mínimo da função: −4

Preâmbulo

Considere a equação do segundo grau f(x) = (x − a)⋅(x − b) e determine suas raízes (ou seus zeros). Observe que os zeros de uma função quadrática são os valores das abscissas (x) onde a parábola intercepta o eixo x.

(x − a)⋅(x − b) = 0

Para que o produto de dois fatores resulte zero basta que um de seus fatores seja zero.

x − a = 0 ⟹ x₁ = a

x − b = 0 ⟹ x₂ = b

Escreva o conjunto solução: S = {a, b}

Observe portanto que as raízes de uma equação do tipo (x − a)⋅(x − b) = 0 são os opostos dos termos independentes de cada fator.

Resolução

Observe no gráfico que a parábola intercepta o eixo x nos pontos −4 e 0 (correspondentes aos valores a e b explicado no preâmbulo) então a equação da parábola é:

f(x) = (x − a) ⋅ (x − b)

f(x) = (x − (−4)) ⋅ (x − 0)

f(x) = (x + 4) ⋅ x ⟹ Execute a operação distributiva da multiplicação.

f(x) = x² + 4x ⟹ a) Essa é a Lei de formação da função.

Toda parábola é simétrica em relação a uma reta vertical que passa por seu vértice portanto a abscissa do vértice é o ponto médio dos zeros da função.

xᵥ = (−4 + 0) ÷ 2

xᵥ = −2 ⟹ Substitua xᵥ na função para determinar yᵥ.

yᵥ = x² + 4x

yᵥ = (−2)² + 4⋅(−2)

yᵥ = 4 − 8

yᵥ = −4

b) Coordenadas do vértice da parábola: V(−2, −4).

Observe no gráfico que o valor mínimo da função {f(x) min} ocorre no vértice da parábola.

f(x) min = yᵥ = −4

Observe que é fornecido um ponto pertencente à parábola, (−1, −3), não usado nessa resolução mas que pode ser usado para resolução por outros métodos.