Question

41-Considerando o que foi demonstrado, prove mais esta importante propriedade, cuja descoberta é atribuída a Tales de Mileto (c.580 a.C.):

Se Ab é um diâmetro e C é um ponto qualquer da circunferência, distinto de A e B, então o triângulo ABC é retângulo em C, isto é, C^ é reto.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cíntia, que é fácil.
Vamos traçar a altura "h" partindo do vértice "C" até o ponto "O".

i) Agora veja: quando você faz isso, então vamos ficar com dois triângulos que são: ACO e OCB.
Note que a altura "h" será igual ao raio da circunferência, da mesma forma os lados "AO", do triângulo ACO, e "OB" do triângulo OCB, também serão iguais ao raio da circunferência.
Nesse caso, o triângulo ACO é isósceles, com os lados "h" e "AO" idênticos, ficando a base como sendo o lado AC. E, o triângulo OCB também será isósceles, com os lados "h" e "OB" idênticos, ficando a base como sendo o lado BC.
Assim, os ângulos da base AC, no triângulo ACO, serão iguais, e chamaremos ambos de α; da mesma forma, os ângulos da base BC serão iguais e chamaremos ambos de β.
Se chamarmos de "x" o ângulo que "h" faz com o lado AO, no triângulo ACO, então o ângulo que "h" faz com o lado OB, do triângulo OCB, será "180-x".

ii) Como os ângulos de um triângulo somam 180º, então teremos:

ii.a) No triângulo ACO:

α + α + x = 180
2α + x = 180      . (I)

ii.b) No triângulo OCB:

β + β + 180-x = 180
2β + 180-x = 180 ---- passando "180" para o 2º membro, temos:
2β - x = 180 - 180
2β - x = 0 ---- passando "2β" para o 2º membro, temos:
- x = - 2β --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos que:
x = 2β       . (II)

iii) Agora vamos substituir "x" por "2β" na expressão (I), que é esta:

2α+ x = 180 ----- substituindo-se "x" por "2β", teremos:
2α + 2β = 180 ---- dividindo-se ambos os membros por "2", ficaremos com:
α + β = 90º ----- note que "α+β" é o ângulo "C". Logo, o ângulo C mede:

90º <--- Pronto. Esta é a resposta. Ou seja, foi assim que Tales chegou à conclusão de que o ângulo C da sua questão teria 90º ( seria um ângulo reto).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.