Question

41. A pressão de 1 mol de um gás ideal está aumentando em uma taxa de 0,05 kPa/s e a temperatura está aumentando em uma taxa de 0,15 K/s. Use a equação no Exemplo 2 para determinar a taxa de variação do volume quando a pressão for 20 kPa e a temperatura for 320 K.

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

A pressão de $\mathsf{1~mol}$ de um gás ideal está aumentando em uma taxa de $\mathsf{0.05~kPa/s}$ e sua temperatura está aumentando em uma taxa de $\mathsf{0.15~K/s}$.

Devemos determinar a taxa de variação do volume deste gás quando a pressão for $\mathsf{20~kPa}$ e sua temperatura for de $\mathsf{320~K}$.

Para isso, utilizaremos a equação de Clayperon:

$\mathsf{PV=nRT}$, em que $\mathsf{P}$ é a pressão do gás, $\mathsf{V}$ é o volume, $\mathsf{T}$ é sua temperatura e, neste caso, são constantes $\mathsf{n}$ é o números de partículas (ou mols) e $\mathsf{R}$ é a constante universal dos gases.

Diferenciando ambos os lados da equação em função ao tempo $\mathsf{t}$, teremos:

$\mathsf{\dfrac{d}{dt}(PV)=\dfrac{d}{dt}(nRT)}$

Então, lembre-se que:

• A derivada do produto entre duas ou mais funções é calculada pela regra do produto: $\mathsf{(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)}$.
• A derivada implícita de uma função $\mathsf{f=f(t)}$ é dada pela regra da cadeia: $\mathsf{[f(u(t))]'=f'(u(t))\cdot u'(t)}$.
• A derivada de uma potência é dada pela regra da potência: $\mathsf{(x^n)'=n\cdot x^{n-1}}$.
• A derivada do produto entre uma ou mais constantes e uma função respeita a regra do produto, uma vez que a derivada das constantes são iguais a zero: $\mathsf{(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)}$.

Aplique a regra do produto em ambos os lados da equação

$\mathsf{\dfrac{dP}{dt}\cdot V+P\cdot\dfrac{dV}{dt}=nR\cdot\dfrac{dT}{dt}}$

Aqui, $\mathsf{\dfrac{dP}{dt},\dfrac{dV}{dt}}$ e $\mathsf{\dfrac{dT}{dt}}$ são, respectivamente, as taxas de variação da pressão, do volume e da temperatura do gás em função do tempo.

Buscamos a taxa de variação do volume do gás, quando o sistema apresenta:

$\begin{cases}\mathsf{\dfrac{dP}{dt}=0.05~kPa/s}\\\\ \mathsf{\dfrac{dT}{dt}=0.15~K/s}\\\\ \mathsf{P=20~kPa}\\\\ \mathsf{T=320~K}\\\\ \mathsf{n=1~mol}\\\\ \mathsf{R=8.314462~m^3\cdot Pa\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}} \\\end{cases}$

Observe as unidades de medida da constante: devemos convertê-las de acordo como SI.

Sabendo que $\mathsf{1~kPa=1\cdot 10^3~Pa}$ e substituindo os dados na equação, teremos:

$\mathsf{0.05\cdot10^3\cdot V+20\cdot10^3\cdot\dfrac{dV}{dt}=1\cdot8.314462\cdot0.15}$

Para encontrarmos o valor de $\mathsf{V}$, substituímos os valores de $\mathsf{P,~n,~R}$ e $\mathsf{T}$ na equação de Clayperon:

$20\cdot10^3\cdot V=1\cdot8.314462\cdot 320$

Multiplique os valores

$\mathsf{20000\cdot V=2660.62784}$

Divida ambos os lados da equação por $\mathsf{20000}$

$\mathsf{V=0.133031392}$

Substituindo este dado na equação que encontramos, teremos:

$\mathsf{0.05\cdot10^3\cdot 0.133031392+20\cdot10^3\cdot\dfrac{dV}{dt}=1\cdot8.314462\cdot0.15}\\\\\\ \mathsf{6.6515696+20000\cdot\dfrac{dV}{dt}=1.2471693}$

Subtraia $\mathsf{6.6515696}$ em ambos os lados da equação

$\mathsf{20000\cdot\dfrac{dV}{dt}=-5.4044003}$

Divida ambos os lados da equação por $\mathsf{20000}$

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=-0.000270220015~m^3/s}$

Esta é a taxa de variação do volume deste gás, nestas condições.

Acompanhe em anexo a explicação física por trás do que acontece com o sistema.