Question

(40 PONTOS) Sobre gráficos de funções reais e simetrias:
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Considere uma função $f:D_{f}\to \mathbb{R},$

com $D_{f}\subset [x_{0},\;+\infty),$ para algum $x_{0}\in\mathbb{R}.$

(isto significa que f não está definida para $x\ \textless \ x_{0},$ e que o gráfico de $f$ está localizado no semiplano direito dado por $x \ge x_{0}$ )

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Considere também outra função $g:D_{g}\to \mathbb{R},$ de tal forma que

$\bullet~~\forall~\delta\ge 0\,;~~~~x_{0}-\delta\in D_{g}~\Leftrightarrow~x_{0}+\delta\in D_{g}\\ \\ \\ \bullet~~\forall~x\in D_{g}\,;~~~~\left\{ \begin{array}{l} x_{0}+\left|x-x_{0}\right|\in D_{f}\\ \\ g(x)=f\!\left(x_{0}+\left|x-x_{0}\right| \right ) \end{array} \right.$

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Nestas condições, mostre que o gráfico de $g$ é simétrico em relação à reta de equação $x=x_{0}.$
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Answer 1

Sendo $D_{g}$ um conjunto não-vazio, para cada elemento x de $D_{g}$, existe apenas um δ não-negativo (valores negativos de δ fariam x < x₀) real tal que

$x=x_{0}+\delta$

Da primeira hipótese sobre G, tiramos que $x=x_{0}-\delta\in D_{g}$

Da segunda hipótese sobre G, tiramos que

$\bullet~~x_{1}=x_{0}+|x_{0}-\delta-x_{0}|=x_{0}+|-\delta|\in D_{f}\\\\\bullet~~x_{2}=x_{0}+|x_{0}+\delta-x_{0}|=x_{0}+|\delta|\in D_{f}$

Como esses valores de x pertencem ao domínio de g, $f(x_{1}),~f(x_{2})$ estão bem definidas. Então:

$g(x_{0}-\delta)=f(x_{0}+|-\delta|)=f(x_{0}+|-1||\delta|)=f(x_{0}+|\delta|)=f(x_{0}+\delta)\\\\g(x_{0}+\delta)=f(x_{0}+|\delta|)=f(x_{0}+\delta)$

(|δ| = δ pois δ ≥ 0)

Como $g(x_{0}-\delta)=g(x_{0}+\delta)~\forall~\delta\ge0~tal~que~x_{0}\pm\delta\in D_{g}$, temos uma simetria no gráfico de g com relação à reta vertical $x=x_{0}$