Question

(40 PONTOS) Calcule a integral definida:
$~$
$\displaystyle\int\limits_{1}^{2e^{2}-1}{\mathrm{\ell n}\!\left(e^{2}-\left|x-e^{2}\right| \right )\!dx}$

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Sugestão: Utilize a simetria da função $f(x)=\mathrm{\ell n}\!\left(e^{2}-\left|x-e^{2}\right| \right )$ no intervalo de integração para simplificar os cálculos.

Answer 1

$f(x)=ln(e^{2}-|x-e^{2}|)$

Encontrando f(e² - k):

$f(e^{2}-k)=ln(e^{2}-|e^{2}-k-e^{2}|)=ln(e^{2}-|-k|)=ln(e^{2}-|k|)$

Encontrando f(e² + k):

$f(e^{2}+k)=ln(e^{2}-|e^{2}+k-e^{2}|)=ln(e^{2}-|k|)$

Logo, com |k| < e², temos $f(e^{2}-k)=f(e^{2}+k)$, então a reta vertical $x=e^{2}$ é um eixo de simetria do gráfico da função

Além disso, veja que

$\bullet~~f(1)=ln(e^{2}-|1-e^{2}|)=ln(e^{2}+1-e^{2})=ln(1)=0\\\\\bullet~~f(2e^{2}-1)=ln(e^{2}-|2e^{2}-1-e^{2}|)=ln(1)=0$

x = 1 é o simétrico de x = 2e² - 1 em relação ao eixo x = e², então

$\displaystyle\int\limits_{1}^{2e^{2}-1}f(x)dx=2\int\limits_{1}^{e^{2}}f(x)dx\\\\\\\int\limits_{1}^{2e^{2}-1}f(x)dx=2\int\limits_{1}^{e^{2}}ln(e^{2}-|x-e^{2}|)dx$

Porém, $|x-e^{2}|=e^{2}-x~quando~x~\textless~e^{2}$

Então, a função nos novos intervalos de integração é dada por

$f(x)=ln(e^{2}-[-(x-e^{2})])=ln(e^{2}+x-e^{2})=ln(x)$

Logo:

$\displaystyle\int\limits_{1}^{2e^{2}-1}f(x)dx=2\int\limits_{1}^{e^{2}}ln(x)dx\\\\\\\int\limits_{1}^{2e^{2}-1}f(x)dx=2\left[\int ln(x)dx\right]_{1}^{e^{2}}$

Como sabemos, da integração por partes,

$\displaystyle\int ln(x)dx=xln(x)-x~~(sem~constante)$

Então:

$\displaystyle\int\limits_{1}^{2e^{2}-1}f(x)dx=2\bigg[xln(x)-x\bigg]_{1}^{e^{2}}\\\\\\\displaystyle\int\limits_{1}^{2e^{2}-1}f(x)dx=2[e^{2}ln(e^{2})-e^{2}]-2[1ln(1)-1]\\\\\\\displaystyle\int\limits_{1}^{2e^{2}-1}f(x)dx=2(2e^{2}-e^{2})-2(-1)\\\\\\\displaystyle\int\limits_{1}^{2e^{2}-1}f(x)dx=2(e^{2})+2\\\\\\\boxed{\boxed{\displaystyle\int\limits_{1}^{2e^{2}-1}f(x)dx=2(e^{2}+1)}}$