Question

- 4 Texto base As integras duplas en coordenadas polares podem ser aplicadas para calcular volumes en coordenadas polares, como seções circulares e sólidos em revolução, sendo vastamente aplica nas mas diversas áreas da engenharia. Para aplicar esses concetos deremos primeramente converter a função matemática de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. NI Cicle o zloraz inga ir dr de. Alternativas 16 3 64 12 3- 2 64- e 5. O centro de massa de un ob oeun localespede no intenor de qualquer corpo rigido Be se move como se toda a massa e todas as forças​

Answer 1

✅ Concluimos via teorema das integrais iteradas e teorema de Fubini que o resultado da integral é $\rm \tfrac{16\pi}{3}$

 

☁️ Teorema de Fubini:

Se uma função for definida contínua num retangulo cujas limitações em x e y são dadas pelo produto cartesiano $\rm \mathbb{D} = [a, b] \times [c, d]$, então:

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm\qquad \iint_{\mathbb{D}} f(x,y) \,dA = \int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f(x,y) \,dydx = \int_{c}^{d}\int_{a}^{b} f(x,y) \,dxdy \qquad}}}$

 

ℹ️ O teorema nos diz que a ordem de integração não importa, desde que integremos a função em sua respectiva variável ao avaliar os limites de integração dados pelo domínio $\rm \mathbb{D}$.

 

✍️ Bora integrar:

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm \int_{0}^{^{\pi}\!/_2}\!\!\int_{0}^{2} r^5\,drd\theta &=\displaystyle\rm \int_{0}^{^{\pi}\!/_2}\left[\int_{0}^{2} r^5\,dr\right]d\theta \\\\ &=\displaystyle\rm \int_{0}^{^{\pi}\!/_2}\left[ \dfrac{r^6}{6}\right]_{0}^{2}d\theta \\\\&=\displaystyle\rm \int_{0}^{^{\pi}\!/_2}\left[ \dfrac{2^6}{6} - \cancel{\dfrac{0^6}{6}}\right]d\theta \\\\&=\displaystyle\rm \int_{0}^{^{\pi}\!/_2} \dfrac{64}{6}\,d\theta \\\\&=\displaystyle\rm\left[ \dfrac{64}{6}\cdot \theta\right]_{0}^{{\pi}\!/_2} \\\\&=\displaystyle\rm \left[ \dfrac{64}{6} \cdot \dfrac{\pi}{2}\right] - \left[ \cancel{\dfrac{64}{6} \cdot 0}\right] \\\\&=\displaystyle\rm \dfrac{64\pi}{12} = \dfrac{16\pi}{3} \end{aligned} \\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm \therefore\: \int_{0}^{^{\pi}\!/_2}\!\!\int_{0}^{2} r^5\,drd\theta = \dfrac{16\pi}{3} }}}}\end{array} \\\large\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$

 

✔️ Por fim, esse é o resultado da integral dupla sobre coordenadas polares.

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre teorema de Fubini:

• https://brainly.com.br/tarefa/51033932

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$