Question

4. Sejam W e Z vetores ortogonais tais que ∥ W ∥= 3 e ∥ Z ∥= √6. Sabendo que U = W + Z e
V = 2W −Z e usando propriedades de produto escalar, calcule o valor de U.V . Pergunta-se: o ˆangulo formado entre U e V ´e agudo ou obtuso? Justifique.

Answer 1

Vamos desenvolver o produto escalar entre U e V:

$U\cdot V = (W+Z)\cdot(2W-Z)\\\\U\cdot V = W\cdot 2W-W\cdot Z +Z\cdot2W-Z\cdot Z\\\\U\cdot V = W\cdot 2W+\underbrace{Z\cdot W}_{=0}-Z\cdot Z$

Podemos usar que, para um vetor qualquer $\vec{x}$, tem-se que $||\vec{x}||^2=\vec{x}\cdot \vec{x}$. Além disso, como W e Z são ortogonais, o produto escalar entre eles é nulo, conforme indicado. Assim:

$U\cdot V = 2||W||^2 -||Z||^2\\\\U\cdot V = 2\cdot3^2-(\sqrt6)^2\\\\U\cdot V= 2\cdot 9-6\\\\\boxed{U\cdot V = 12}$

Para descobrirmos o ângulo entre eles, podemos usar que, se $\vec{y}$ é outro vetor, pode-se dizer que $\vec{x}\cdot\vec{y}= ||\vec{x}||||\vec{y}||\cos(\theta)$, onde $\theta$ é o ângulo entre os dois vetores. Desse modo:

$U\cdot V = ||U||||V||\cos(\theta)\\\\\cos(\theta)=\dfrac{12}{||U||||V||}$

Vamos calcular separadamente as normas dos vetores presentes na última expressão obtida:

$||U||=||W+Z||=\sqrt{(W+Z)\cdot(W+Z)}\\\\||U||=\sqrt{\underbrace{W\cdot W}_{=||W||^2}+\underbrace{W\cdot Z}_{=0}+\underbrace{Z\cdot W}_{=0}+ \underbrace{Z\cdot Z}_{=||Z||^2}}\\\\||U|| = \sqrt{9+0+0+6}=\sqrt{24}\\\\||U||=2\sqrt{6}$

$||V||=||2W-Z|=\sqrt{(2W-Z)\cdot(2W-Z)}\\\\||V||=\sqrt{4\underbrace{W\cdot W}_{=||W||^2}-\underbrace{2W\cdot Z}_{=0}-\underbrace{Z\cdot 2W}_{=0}+ \underbrace{Z\cdot Z}_{=||Z||^2}}\\\\||U|| = \sqrt{4\cdot9+0+0+6}=\sqrt{36+6}=\sqrt{42}\\\\||V||=\sqrt{42}$

Voltando à expressão do cosseno:

$\cos(\theta)=\dfrac{12}{||U||||V||}\\\\\cos(\theta)=\dfrac{12}{2\sqrt{6}\cdot\sqrt{42}}\\\\\cos(\theta)=\dfrac{12}{2\cdot3\cdot2\cdot\sqrt{7}}\\\\\boxed{\cos(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{7}}}$

Percebe-se que o ângulo apresenta cosseno positivo. Portanto, o ângulo é agudo.

Obs: Não era necessário chegar ao valor do cosseno, só quis mostrar que é possível fazê-lo. Apenas sabendo o sinal de $U\cdot V$ já poderíamos concluir se o ângulo era agudo ou não. Veja:

$\vec{x}\cdot\vec{y}= ||\vec{x}||||\vec{y}||\cos(\theta)$

Como as normas dos vetores são sempre positivas, o sinal do cosseno será igual ao do produto escalar entre os dois vetores. Vimos que $U\cdot V$ era positivo (12 > 0), o que ajuda a confirmar nossa conclusão.