Question

4 - Seja D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} e CD={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}, faça um diagrama da função f de D → CD , tal que f(x) = 2x, onde D seja o domínio CD o contradomínio e Im o conjunto imagem. *
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Answer 1

O diagrama de flechas (resposta) da função proposta solicitado pela questão está representado em anexo.

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Desejamos montar um diagrama da função f : D ➞ CD definida por f(x) = 2x, onde D = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e CD = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Abaixo estarei explicando o que são estes conjuntos e suas relações, e na parte final da resposta estarei montando o diagrama.

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• O que é domínio?

O domínio D(f) aqui é representado pelo conjunto D, sendo um conjunto constituído por todos os possíveis valores que a variável real (tratando-se de funções reais) independente ‘‘x’’ pode assumir. Podemos dizer que o domínio são elementos que nós usamos na função. Note que, o domínio real de f(x) = 2x é D(f) = ℝ, mas a questão o restringiu para somente cinco elementos. Dessa forma, o conjunto domínio de f é:

                            $\\\Large\boldsymbol{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\D(f)=\big\{0,~1,~2,~3,~4,~5\big\}\\\\\end{array}}}}$

• O que é contradomínio?

O contradomínio CD(f) aqui é representado pelo conjunto CD. É um conjunto constituído de elementos que podem, ou não, estar associados a elementos de D(f). Podemos dizer que o contradomínio constitui-se elementos que estão à nossa disposição. Assim o conjunto contradomínio de f é:

    $\\\Large\boldsymbol{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\CD(f)=\big\{0,~1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9,~10\big\}\\\\\end{array}}}}$

• O que é imagem?

E por fim, a imagem Im(f), aqui representada pelo conjunto Im, é o conjunto de elementos de CD(f) que associam-se a elementos de D(f), sendo, portanto, um subconjunto de CD(f) (Im(f) ⊆ CD(f)). Podemos dizer que a imagem constitui-se de elementos que nós obtemos na função, sendo totalmente dependentes do valor da variável independente ‘‘x’’.

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• Montagem do diagrama

Para completar o diagrama que iremos construir, devemos encontrar o conjunto imagem de f. De uma forma simples ao que foi explicado, como seus elementos são obtidos usando os elementos de D(f), basta que substituamos eles na função:

                           $\\\boldsymbol{\begin{array}{c}\\f(x)=2x\\\\\begin{cases}f(0)=2\cdot0=0~~~\,\therefore~~0~\acute{e}~a~imagem~de~0\\f(1)=2\cdot1=2~~~\,\therefore~~2~\acute{e}~a~imagem~de~1\\f(2)=2\cdot2=4~~~\,\therefore~~4~\acute{e}~a~imagem~de~2\\f(3)=2\cdot3=6~~~\,\therefore~~6~\acute{e}~a~imagem~de~3\\f(4)=2\cdot4=8~~~\,\therefore~~8~\acute{e}~a~imagem~de~4\\f(5)=2\cdot5=10~~\therefore~~10~\acute{e}~a~imagem~de~5\\\end{cases}\\\\\end{array}}$

Assim, perceba que de todos os elementos à nossa disposição no contradomínio, apenas seis deles participam efetivamente da relação com o domínio. Dessa forma, o conjunto imagem de f é:

                    $\\\Large\boldsymbol{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\Im(f)=\big\{0,~2,~4,~6,~8,~10\big\}\\\\\end{array}}}}$

Agora nós podemos montar o diagrama. Para isso vamos representar os conjuntos D e CD por figuras ovais e posicioná-los um pouco espaçados. Depois, partindo do conjunto D, e com base no que calculamos lá em cima, fazemos uma flecha saindo de cada um dos elementos para se associarem à um elemento do conjunto CD, cujo estes estarão recebendo a flechada. Por exemplo, o elemento 0 estará flechando o elemento 0, o elemento 1 estará flechando o elemento 2, e assim por diante. Depois destacamos o conjunto imagem como sendo o conjunto Im, e o diagrama estará finalizado (veja em anexo como fica).

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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