Question

4 QUESTÃO
Uma PA tem vinte elementos. Seu primeiro termo é 1 e a soma de seus termos é 590. Determine o 15 elemento e assinale a alternativa correta.
ALTERNATIVAS

15 elemento= 30.


15 elemento= 33.


15 elemento= 38.


15 elemento= 43.


15 elemento = 50.

Answer 1

Vamos coletar os dados que o problema dá e o que se pede:

$a_{1} = 1 \\ n = 20 \\ S_{20} = 590 \\ a_{15} = ?$

Para determinar o 15º termo, temos que usar a fórmula do termo geral de uma PA:

$a_{n} = a_{1} + (n-1)r$

Só que precisaremos da razão, e para calcular a razão, teremos que saber quem é o ultimo termo. Para saber o último termo, vamos usar a fórmula da soma dos termos de uma PA:

$S_{n} = \frac{ (a_{1} + a_{n})n}{2}$

Então, o processo é o seguinte:

- Usamos a fórmula da soma e descobrimos o ultimo termo
- pegamos o ultimo termo, a20, e usamos para saber a razão, com a f. d termo geral
- usamos novamente a f do termo geral pra descobrir o a15.

$S_{n} = \frac{ (a_{1} + a_{n})n}{2} \\ \\ S_{20} = \frac{ (1 + a_{20})20}{2} \\ \\ 590 = \frac{ (1 + a_{20})20}{2} \\ \\ 590 = (1 + a_{20}) . 10 \\ \\ \frac{590}{10} = 1 + a_{20} \\ \\ 1 + a_{20} = 59 \\ \\ a_{20} = 59-1 \\ \\ a_{20} = 58$

$a_{n} = a_{1} + (n-1)r \\ a_{20} = 1 + (20-1)r \\ 58 = 1 + 19r \\ 58 -1 = 19r \\ 19r = 57 \\ r = 57/19 \\ r = 3$

$a_{n} = a_{1} + (n-1)r \\ a_{15} = 1 + (15-1) .3 \\ a_{15} = 1 + 14 .3 \\ a_{15} = 1 + 42 \\ a_{15} = 43$