Question

4. Os vértices de um triângulos são os pontos A(1, 3, -1), B(2, -4, 5) e C(3, 4, 3). Classifique este triângulo como equilátero, isósceles ou escaleno e calcule seu perímetro.

Answer 1

Boa Noite!

Iremos calcular d(A,C), d(A,B) e d(B,C), pois queremos qualificar o triângulo com base nos seus lados, ou seja,
Se tivermos nenhum lado do triângulo com mesmo tamanho do que outro lado, então temos um triângulo escaleno.
Se tivermos dois lados do triângulo com mesmo tamanho, então temos um triângulo isósceles.
Se tivermos três lados do triângulo com  mesmo tamanho, então temos um triângulo equilátero.
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Fórmula geral de d(X,Y):
$d(X,Y)=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}$
Sendo, $X=(x_{1},y_{1},z_{1})$ e $Y=(x_{2},y_{2},z_{2})$
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Calculando d(A,C),
$d(A,C)=\sqrt{(1-3)^{2}+(3-4)^{2}+(-1-3)^{2}}$
$d(A,C)=\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+(-4)^{2}}$
$d(A,C)=\sqrt{4+1+16}$
$d(A,C)=\sqrt{21}$
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Calculando d(A,B).
$d(A,B)=\sqrt{(1-2)^{2}+(3-(-4))^{2}+(-1-5)^{2}}$
$d(A,B)=\sqrt{(-1)^{2}+(3+4)^{2}+(-6)^{2}$
$d(A,B)=\sqrt{1+49+36}$
$d(A,B)=\sqrt{86}$
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Calculando d(B,C),
$d(B,C)=\sqrt{(2-3)^{2}+(-4-4)^{2}+(5-3)^{2}}$
$d(B,C)=\sqrt{(-1)^{2}+(-8)^{2}+(2)^{2}}$
$d(B,C)=\sqrt{1+64+4}$
$d(B,C)=\sqrt{69}$
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Como d(A,C) é diferente de d(B,C) e é diferente de d(A,B), e d(B,C) é diferente de d(A,B),  logo, o triângulo é escaleno.
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O perímetro é a soma das distâncias, pois cada uma é um lado do triângulo.
d(A,B)+d(A,C)+d(B,C)
$\sqrt{86}+\sqrt{21}+\sqrt{69}$

Logo, $\sqrt{86}+\sqrt{21}+\sqrt{69}$ é o perímetro do triângulo.