Question

4) O valor de x que satisfaz a equação log2(x – 1) + log2(x + 1) = 3 é:
a) –3 ( )
b) 0 ( )
c) 3 ( )
d) 6 ( )
e) 9 ( )

Answer 1

$log_{2} (x - 1) + log_{2} (x + 1) = 3$

Beleza, para fazer isso temos que igualar 3 à base log₂.
Sendo a um número qualquer e b a base, $a = log_{b}(b^{a})$. Então:

$log_{2} (x - 1) + log_{2} (x + 1) = log_{2}(2^{3})$

Usaremos a propriedade $log_{b}(f(x)) + log_{b}(f(x)) = log_{b}(f(x) \cdot g(x))$. Logo:

$log_{2} ((x - 1)(x + 1))= log_{2}(2^{3})$

Com as bases igualadas e tudo certo, podemos "ignorar" o log₂ e usar o que tem dentro numa equação:

$(x - 1)(x + 1) = 2^{3}$
$(x - 1)(x + 1) = 8$

Distribuindo (x - 1) por (x + 1):

$x^{2} - x + x - 1 = 8$
$x^{2} - 1 = 8$
$x^{2} - 9 = 0$

E temos uma equação quadrática, x² - 9 = 0.

Resolveremos-a completando o quadrado:

$x^2 - 9 = 0$
$x^2 = 9$

Agora temos x’ = √9 e x’’ = -√9:

$x' = \sqrt{9} = 3$
$x'' = -\sqrt{9} = -3$

Como temos agora 2 soluções, colocaremos as duas na equação original para testar. O que não der certo, removeremos:

x = 3:
$log_{2}(3 - 1) + log_{2}(3 + 1) = log_2(2) + log_2(4) = 1 + 2 = 3$

x = -3:
$log_{2}(-3 - 1) + log_{2}(-3 + 1) = log_2(-4) + log_2(-2) = ?$

Como não existe log de número negativo, então a resposta é a letra (c): x = 3.