Question

4. Na figura abaixo, as circunferências têm raio 10 cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, são
tangentes entre si e tangentes ao quadrado que tem base na reta AB. Determine a medida do lado desse
quadrado​

Answer 1

A medida do lado desse quadrado é 4 cm.

Observe a figura abaixo.

Vamos considerar que a medida do lado do quadrado é x. Sendo assim, temos que AD = x. Como o raio da circunferência mede 10 cm, então CD = 10 - x.

Além disso, temos que CE = 10.

O segmento DE mede 10 - x/2. Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo CDE, obtemos:

10² = (10 - x)² + (10 - x/2)²

100 = 100 - 20x + x² + 100 - 10x + x²/4

100 = 5x²/4 - 30x + 200

5x²/4 - 30x + 100 = 0

5x² - 120x + 400 = 0

x² - 24x + 80 = 0

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-24)² - 4.1.80

Δ = 576 - 320

Δ = 256

$x=\frac{24+-\sqrt{256}}{2}$

$x=\frac{24+-16}{2}$

$x'=\frac{24+16}{2}=20$

$x''=\frac{24-16}{2}=4$.

Observe que x não pode ser igual a 20, uma vez que:

CD = 10 - x

CD = 10 - 20

CD = -10 → não podemos ter uma medida negativa.

Portanto, o valor de x é 4 e o lado do quadrado mede 4 cm.