Question

Alguém para me socorrer???
Dado o operador linear T:R²->R², T(X,Y ) = (3X+ 7Y ,X- 3Y) , determine uma base para
o 2 R .
a) (1,7), (7,1)
b)(−1,1),(7,1)
c) (−1,1),(−7,1)
d) (−7,1),(−7,1)
e) (−1,1),(−7,−1)

Answer 1

Vamos encontrar a matriz da transformação linear:

A= (3 7)

(1 –3)

λI–A= (λ–3 –7)

(–1 λ+3)

P(λ)=det(λI–A)=λ²–16

autovalores:

P(λ)=0

λ²–16=0

λ²=16

λ=±√16

λ₁=4 e λ₂=–4

Autovetores:

Para λ₁=4

(4–3 –7)

(–1 4+3)

(1 –7) [x] =[0]

(–1 7) [y] [0]

{x-7y=0 →x=7y

{–x+7y=0

(x, y)=(7y, y)=y. (7,1) com y≠0

Para λ₂=–4

(–4–3 –7)

(–1 –4+3)

(–7 –7)[x]=[0]

(–1 –1)[y] [0]

{-7x-7y=0

{–x–y=0 →x=–y

(x,y)=(-y, y) =y.(–1,1) com y≠0

Portanto os vetores (–1,1) e (7,1) são uma base para esta transformação linear.

Espero ter ajudado bons estudos :)