Question

4. (Fgvrj 2012) A distância entre duas retas paralelas é o comprimento do segmento de perpendicular às retas que tem uma extremidade em uma reta e a outra extremidade na outra reta. No plano cartesiano, a distância entre as retas de equações 3x+4y=0 e 3x+4y+10=0 é:
Resposta: 2

Answer 1

Também é igual a distância de um ponto de uma das retas até a outra reta.

a) Vamos achar um ponto qualquer da reta 3x+4y=0

se x = 4 temos   3.4 + 4y = 0
                           12 + 4y = 0
                            4y = -12
                              y = -3

Logo o ponto (4,-3) pertence à reta 3x+4y=0

b) Cálculo da distância do ponto (4,-3) à reta 3x+4y+10=0

Use a fórmula da Geometria Analítica:

$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \\ d=\frac{|3.4+4.(-3)+10|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|12-12+10|}{\sqrt{25}}=\frac{10}{5}=2$

Answer 2

$( \big( \Big( \bigg(\Bigg( d_{r,s} = 2 \Bigg)\bigg)\Big)\big))\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \LaTeX$

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Explicação passo-a-passo:__________✍

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Olá Nic, como estás nestes tempos de quarentena? Como vão os estudos à distância? Espero que bem.

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Temos que a equação geral para a distância entre duas retas é dada por

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$d_{(r1, r2)} = \dfrac{| c1 - c2 |}{\sqrt{a^2 + b^2}}\\\\\\Para\ duas\ retas\ r_1\ e\ r_2\ escritas\ na\ forma\\\\\\\begin{cases} \ r1: ax + by = c1\\\\\ \ r2: ax + by = c2\end{cases}$

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Mas e se não lembrarmos da fórmula na hora h? Bom, podemos deduzir uma forma alternativa dela geometricamente da seguinte forma:

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Lembremos da equação geral das retas na forma de um polinômio de primeiro grau: y = ax + b, sendo a o coeficiente angular da reta (a inclinação dela com relação ao eixo x) e b o coeficiente linear da reta (o valor de y em que a reta cruza com o eixo y).

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Sendo r e s duas retas paralelas temos 3 possibilidades (sugiro que você pegue um papel, um lápis, trace três planos cartesianos distintos e em cada um deles trace as três possibilidades para visualizar melhor a explicação ☺)

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I) r e s são retas paralelas ao eixo x, ou seja, possuem inclinação zero e são, portanto, constantes em y (a=0) sendo, portanto, funções de grau zero.

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II) r e s são retas paralelas ao eixo y, ou seja, possuem inclinação de 90º e são, portanto, constantes em x não sendo, portanto, funções de y = f(x).

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III) r e s possuem inclinação diferente de 0º e de 90º e portanto ambas interceptam tanto o eixo x como o eixo y.

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Vamos verificar nossas retas:

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$r: y_r = (\dfrac{-3}{4})x_r + 0\\\\\\a = \dfrac{-3}{4}\\\\b = 0\\\\\\s: y_s = (\dfrac{-3}{4})x_s + (\dfrac{-5}{2})\\\\\\a = \dfrac{-3}{4}\\\\b = \dfrac{-5}{2}$

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Portanto, como a ≠ 0, y = f(x) e a1 = a2 temos que ambas são paralelas e a inclinação delas corresponde a -3/4

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Sendo assim, poderemos encontrar a distância entre ambas, geometricamente, através de um triângulo retângulo formado entre os seguintes pontos

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$PA = (x_1, 0)\\\\PB = (x_2, 0)\\\\PC = (x_2, y_1)$

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PA e PB são os pontos em que ambas as retas interceptam o eixo x, ou seja, pontos em que y é igual a zero. Para encontrá-los basta que igualemos y à zero na equação de cada uma delas.

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$r: 0 = (\dfrac{-3}{4})x_r + 0\\\\\\0 = (\dfrac{-3}{4})x_r\\\\\\\dfrac{0}{\dfrac{-3}{4}} = x_r\\\\\\x_r = 0\\\\\\\\s: 0 = (\dfrac{-3}{4})x_s + (\dfrac{-5}{2})\\\\\\\dfrac{5}{2} = (\dfrac{-3}{4})x_s\\\\\\\dfrac{\dfrac{5}{2}}{\dfrac{-3}{4}} = x_s\\\\\\x_s = -10/3\\\\\\\\PA = (0, 0)\\\\PB = (\dfrac{-10}{3}, 0)$

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A distância entre eles PA e PB será de

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$d_x = | 0 - (\dfrac{-10}{3}) |\\\\\\d_x = | \dfrac{10}{3} |\\\\\\d_x = \dfrac{10}{3}$

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PC pode ser encontrado ao colocarmos o valor de x_s, que encontramos no passo anterior para a reta s, na equação de r.

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$y_2 = (\dfrac{-3}{4}) \cdot (\dfrac{-10}{3}) + 0\\\\\\y_2 = \dfrac{30}{12} + 0\\\\\\y_2 = \dfrac{5}{2}\\\\\\PC = (\dfrac{-10}{3}, \dfrac{5}{2})$

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A distância entre PB e PC será de

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$d_y = | 0 - (\dfrac{5}{2}) |\\\\\\d_y = | \dfrac{-5}{2} |\\\\\\d_y = \dfrac{5}{2}$

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Veremos em seguida que precisaremos saber o sen(α) para encontrarmos nossa distância entre as retas e, para isso, precisaremos encontrar antes a distância entre PA e PC. Pelo Teorema de Pitágoras temos que

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$D_{PA, PC} = \sqrt{(\dfrac{10}{3})^2 + (\dfrac{5}{2})^2}\\\\\\D_{PA, PC} = \sqrt{\dfrac{100}{9} + \dfrac{25}{4}}\\\\\\D_{PA, PC} = \sqrt{\dfrac{625}{36}}\\\\\\D_{PA, PC} = \dfrac{25}{6}$

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Com isso agora podemos observar que a altura do triângulo ABC com relação ao vértice B mede exatamente a distância entre as duas retas! (tendo em vista que ela é um segmento perpendicular à ambas as retas e que liga ambas) e para encontrá-la temos dois triângulos retângulos com um ângulo α, sendo um deles o nosso triângulo ABC e o outro o triângulo ABD (sendo D o ponto no segmento AC formado pelo segmento que sai do vértice B e vai de forma perpendicular até o segmento AC). Portanto, sendo ambos os triângulos congruentes (possuem um ângulo reto e um ângulo α) temos a relação de sen (α) para ambos de forma que

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$sen(\alpha) = \dfrac{\dfrac{5}{2}}{\dfrac{25}{6}} = \dfrac{d_{r,s}}{\dfrac{10}{3}}\\\\\\\dfrac{\dfrac{5}{2}}{\dfrac{25}{6}} = \dfrac{d_{r,s}}{\dfrac{10}{3}}\\\\\\ d_{r,s} = \dfrac{\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{10}{3}}{\dfrac{25}{6}}\\\\\\ d_{r,s} = \dfrac{\dfrac{25}{3}}{\dfrac{25}{6}}\\\\\\d_{r,s} = 2$

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➥ $\boxed { \ \ \ d_{r,s} = 2 \ \ \ }$ ✅

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Bons estudos. ☕

(Dúvidas nos comentários)

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"Absque sudore et labore nullum opus perfectum est."