Question

4) Determine a resultante de quatro forças que agem sobre um corpo sabendo que a primeira é horizontal, para direita, de módulo 10; a segunda é horizontal, para esquerda de módulo 4; e a terceira é vertical, para cima de módulo 6; e a quarta é vertical para cima de módulo 2.

Answer 1

Vamos começar definindo um referencial para que possamos somar os vetores de força.

--> Na direção horizontal, podemos adotar como positivo o sentido para direita e, consequentemente, como negativo para esquerda.

--> Já na direção vertical, podemos adotar como positivo o sentido para cima e, consequentemente, como negativo para baixo.

Agora, para somarmos os vetores (ver Anexo - figura 1), vamos primeiro achar o vetor resultante em cada direção.

Direção Horizontal (Anexo - Figura 2):

$+10~+~(-4)~=\,\boxed{+6}~~\rightarrow~Forca~de~modulo~6~para~direita$

Direção Vertical (Anexo - Figura 3):

$+6~+~(+2)~=\,\boxed{+8}~~\rightarrow~Forca~de~modulo~8~para~cima$

Assim, temos uma resultante para direita e outra resultante para cima (Anexo - Figura 4). Como as direções horizontal e vertical são perpendiculares entre si, podemos utilizar tanto a lei dos cossenos, aplicada a soma de vetores, quanto o teorema de Pitágoras, o resultado será equivalente.

$\underline{Pela~Lei~dos~Cossenos}:\\\\\\R^2~=~V_1^{\,2}~+~V_2^{\,2}~+~2\cdot V_1\cdot V_2\cdot cos(\theta)\\\\\\R^2~=~6^2~+~8^2~+~2\cdot 6\cdot 8\cdot cos(90^\circ)\\\\\\R^2~=~36~+~64~+~2\cdot 6\cdot 8\cdot 0\\\\\\R^2~=~36~+~64\\\\\\R~=~\sqrt{100}\\\\\\\boxed{R~=~10~unidades}\\\\\\\\\underline{Pelo~Teorema~de~Pitagoras}:\\\\\\R^2~=~V_1^{\,2}~+~V_2^{\,2}\\\\\\R^2~=~36~+~64\\\\\\R^2~=~36~+~64\\\\\\R~=~\sqrt{100}\\\\\\\boxed{R~=~10~unidades}$

Já o angulo do vetor resultante, em relação a horizontal, será dado pela arcotangente da relação entre a componente vertical e a componente horizontal de R:

$Angulo~=~arctg\left(\dfrac{8}{6}\right)\\\\\\Angulo~=~arctg\left(\dfrac{4}{3}\right)\\\\\\\boxed{Angulo~\approx~53,13^\circ}$