Question

4) De quantas formas diferente é possível dispor as letras da palavra CHICLETE de modo que a última letra seja sempre T ou L?

A) 8!
B) 8!/4
C) 8!/4!
D) (7!/2!)²
E) 2 x (7!/4)

Answer 1

A palavra $C \ H \ I \ C \ L \ E \ T \ E$ tem 8 letras , sendo que temos a presença de 2 pares de letras repetidas ( C e E ) .

Para propormos o total de casos nos quais as letras são dispostas de maneira que terminem em L ou T vamos começar fixando uma dessas no final da palavra :

$\underline{?} \ \ \ \underline{?} \ \ \ \underline{?} \ \ \ \underline{?} \ \ \ \underline{?} \ \ \ \underline{?} \ \ \ \underline{?} \ \ \ \boxed{\underline{T}}$

Onde cada $\underline{?}$ indica a possibilidade de associação de uma letra com o espaço .

Agora perceba que o fato de trocarmos as letras de lugar é sinônimo de permutar as 7 letras restantes entre si. Com isso , utilizaremos a fórmula da permutação com repetição ( como explicado no início temos dois pares de letras repetidos ) .

$P_n^{\alpha}^,^{\beta}^,^{\gamma} \ = \ \frac{n!}{\alpha! \ . \ \beta! \ . \ \gamma!}$

Como fixamos a letra T já , então na palavra $C \ H \ I \ C \ L \ E \ T \ E$  temos somente 7 letras para podermos permutar . Assim , temos n = 7 . Além disso , sabemos que α = 2 e β = 2  ( devido a repetição das letras E , C ) . Substituindo as incógnitas :

$P_7^2^,^2 \ = \ \frac{7!}{2! \ . \ 2!}$
$P_7^2^,^2 \ = \ \frac{7!}{4}$

∴ Sendo $P_7^2^,^2$ a representação do total de casos ( Z ) da disposição das letras da palavra $C \ H \ I \ C \ L \ E \ T \ E$  terminadas em T . Agora para descobrirmos os casos terminados em L basta analisarmos que as condições são as mesmas , logo podemos afirmar que o total de casos  para as palavras terminadas em L também é Z .

∴ Devido ao uso do conectivo '' ou '' sabemos que o total de casos requeridos pela questão será a soma dos casos das palavras terminadas em L e T . Com isso o total de casos ( x ) será :

$x \ = \ Z \ + \ Z \\ x \ = \ 2Z \\ x \ = \ 2 \ . \ \frac{7!}{4} \ \ \ \ \ \ \ \ \ letra \ e)$