Question

4. Considere o gráfico de uma função quadrática f representado a seguir e faça o que se pede em cada item.

A) Sabendo que os pontos A, B, C, D e E pertecem ao gráfico de f, escreva a lei de formação dessa função.


B) Todos os dados fornecidos pelo enunciado foram utilizados na resolução do item a? O que teria acontecido caso outros pontos tivesse sido escolhidos?

Answer 1

Resposta:

A) f(x) = x² - 4x +2  (ver gráfico em anexo )

B)  ver em baixo

Explicação passo a passo:

Primeiro método  

A forma geral de uma função do 2º grau é:

f(x) = ax² + bx + c           a ≠ 0    (**)

Precisamos de saber os valores a; b; c.

A fórmula do vértice é

$Vertice=(-\dfrac{b}{2a} ;-\dfrac{delta}{4a} )$      

Δ = delta= b² - 4 * a * c

As coordenadas deste vértice são:

V ( 2 ; -2 )

Assim:

${ -\dfrac{b}{2a} =2$         ( I )

e

$-\dfrac{delta}{4a}=-2$    ( II )  

Usando (I )

${ -\dfrac{b}{2a} =\dfrac{2}{1}$

produto cruzado

-b = 2 * 2a  

-b = 4a

b= - 4a     ( III )

usando (II)

$-\dfrac{delta}{4a}=-\dfrac{2}{1}$    

produto cruzado

- Δ * 1 = - 4a *2

multiplicando tudo por ( - 1 )  

Δ = 8a        

Δ = b² - 4*a*c

b² - 4*a*c = 8a

e

sendo b = - 4a  

   

Δ = (- 4a)² - 4*a*c = 8a  

Um ponto de situação.

Nesta equação temos a incógnita "a" mas falta o valor de "c".

Mas sabemos que o ponto ( 0 ; c) é o ponto de interseção  com o eixo dos y.

Assim , vemos no gráfico que c = 2

( - 4a )² - 4 * a * 2 = 8a  

16a² - 8a - 8a = 0

16a² - 16 a = 0

dividindo tudo por 16 , para simplificar a equação

16/16a² - 16/16 a = 0/16

a² - a = 0

Colocando o "a" em evidência

a * ( a - 1) = 0

Equação produto

a = 0   ∨   a - 1 = 0

a = 0   ∨   a = 1

Mas vendo em (**) que a ≠ 0 , só resta  a possibilidade de a = 1

Resumindo o que sabemos até agora:

a = 1

c = 2

só falta o "b"

Mas  por (III ) sabemos que

b= - 4a

logo

b = - 4 * 1

b = - 4

A lei de formação da função com este gráfico é :

f(x) = x² - 4x + 2

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Segundo método

As equações do segundo grau podem ser construídas usando a seguinte

fórmula:

$f(x) = a*(x-h)^2+k$  

Onde ( h ; k ) são as coordenadas do vértice e "a" o coeficiente de x²

A) Sabemos aas coordenadas do vértice

V ( 2 ; - 2 )  no gráfico é o ponto C

A fórmula fica quase preenchida

$f(x)=a*(x-2)^2+(-2)$

Usando as coordenadas do ponto B ( 1 ; -1 ) , determina - se o valor de "a"

$-1=a*(1-2)^2-2$

$-1=a*(-1)^2+(-2)$

$-1=a*1-2$

a = - 1 + 2

a = 1

Está quase pronta a expressão da função

$f(x)=1*(x-2)^2-2$

( x - 2)² = x² - 2 *x * 2 + 2²      

= x² - 4x +4

$f(x)=x^2-4x+4-2$

f(x) = x² - 4x +2    

Resumindo: o cálculo da expressão desta função, dado o gráfico foi obtida

com a ajuda das coordenadas do vértice e de um ponto, neste caso ponto

B.  

Com dois métodos distintos obteve-se a mesma lei de formação

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B)

Não foram utilizados os pontos B ;  D e E , no primeiro método.

Não foram utilizados os pontos A ; D e E   , no segundo método.

Se outros pontos fossem escolhidos, desde que fossem três pontos eram

suficientes para resolver um sistema de 3 equações a 3 incógnitas.

A forma geral de uma função do 2º grau é:

f(x) = ax² + bx + c           a ≠ 0

Onde se desconhecem o "a" ; o "b" e o "c".

Logo necessitava de se construir as tais três equações.

Bons estudos.

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( * ) multiplicação      ( / ) divisão        ( ≠ ) diferente de