Question

4. Calcule o valor de p na equação x² – (p + 5)x + 36 = 0, de modo que as raízes reais sejam iguais.

Answer 1

A equação dada é do 2° grau (quadrática) e, portanto, suas raízes serão Reais e iguais quando  Δ (discriminante) valer 0.

Os coeficientes da equação são:

--> a = 1

--> b = -(p+5)

--> c = 36

Assim, temos:

$\Delta~=~0\\\\\\b^2-4ac~=~0\\\\\\(-(p+5))^2-4\cdot1\cdot36~=~0\\\\\\(p^2+10p+25)-144~=~0\\\\\\\boxed{p^2+10p-119~=~0}$

Vamos utilizar Bhaskara nesta segunda equação quadrática encontrada:

$\Delta~=~10^2-4\cdot1\cdot(-119)~=~100+476~=~\boxed{576}\\\\\\p~=~\dfrac{-10\pm\sqrt{576}}{2\cdot1}~=~\dfrac{-10\pm24}{2}~~\rightarrow~~\left\{\begin{array}{c c c c c}p'&=&\dfrac{-10+24}{2}&=&7\\\\p''&=&\dfrac{-10-24}{2}&=&-17\end{array}\right$

Com isso, concluímos que a equação x² – (p + 5)x + 36 = 0 tem raízes Reais e iguais para p=7 e p=-17.