Question

4) Calcule a área da região limitada pelas curvas: $x^{2}$, 8-$x^{2}$ e 4x+12. Esboce o gráfico
das funções e identifique área a ser calculada.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{128}{3}~u.~a}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para calcularmos área da região limitada pelas curvas, utilizaremos integrais duplas.

Seja $D$ a região compreendida entre duas ou mais curvas $f(x),~g(x)$ e $h(x)$, em um dado intervalo fechado $[a,~b]$. Sua área é calculado pela integral dupla: $\displaystyle{\int\int_D\,dA$.

O elemento de área $dA$ pode ser definido de acordo com o Teorema de Fubini. A ordem de integração é importante, pois é necessário que a última variável a ser integrada tenha limites numéricos. Assim, o elemento de área pode assumir duas formas: $dA=dy\,dx$ ou $dA=dx\,dy$.

Neste caso, utilizaremos a ordem de integração $dA=dy\,dx$.

Ao esboçarmos o gráfico das curvas, devemos analisar seu comportamento no intervalo $[a,~b]$: seja a região de forma que em todo este intervalo, $f(x)>g(x)$. sua área será calculada pela integral: $\displaystyle{\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx$.

Porém, esta região está delimitada entre três curvas. Observe que uma delas é uma reta. Então primeiro, determinarmos a intersecção entre as duas outras curvas e definimos seu intervalo:

Iguale as curvas:

$x^2=8-x^2$

Some $x^2$ em ambos os lados da equação

$2x^2=8$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$x^2=4$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados

$x=\pm~2$

Então, nosso intervalo será: $-2\leq x\leq 2$.

Veja que a área sob a reta sobrepõe a área compreendida entre as curvas. Isto significa que podemos integrar somente a área entre a reta e a curva que limita inferiormente a região:

Dessa forma, a área desta região será calculada pela integral

$\displaystyle{\int_{-2}^2\int_{x^2}^{4x+12}\,dy\,dx$

Lembre-se que:

• A integral de uma potência e dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq -1$.
• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral definida de uma função é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Sabendo que $\displaystyle{\int \,dy=\int 1\,dy=\int y^0\,dy$, aplique a regra da potência

$\displaystyle{\int_{-2}^2y~\biggr|_{x^2}^{4x+12}\,dx$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_{-2}^24x+12-x^2\,dx$

Calcule a integral, de acordo com a regra da soma e da potência

$2x^2+12x-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_{-2}^2$

Aplique os limites de integração

$2\cdot2^2+12\cdot2-\dfrac{2^3}{3}-\left(2\cdot(-2)^2+12\cdot(-2)-\dfrac{(-2)^3}{3}\right)$

Calcule as potências e multiplique os valores

$8+24-\dfrac{8}{3}-\left(8-24+\dfrac{8}{3}\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os valores

$8+24-\dfrac{8}{3}-8+24-\dfrac{8}{3}\\\\\\ 48-\dfrac{16}{3}\\\\\\ \dfrac{128}{3}$

Esta é a área compreendida entre estas curvas.

Veja a imagem em anexo: as curvas foram esboçadas no plano cartesiano e a área calculada está em destaque na cor laranja.