Question

4) As transformações lineares, cada uma definida como sendo uma transformação que leva elementos de um espaço Rn até um outro espaço Rm , possui alguns parâmetros que podem ser analisados, dentre os quais, sua imagem e seu núcleo. Esses elementos são importantes na avaliação do número de dimensões da transformação linear.

T(x,y,z) = (x+y,x, x +y+z)

Sobre a transformação acima, responda:
a) Qual a Imagem e o Núcleo da Transformação?
b) Qual a matriz da transformação linear?

Answer 1

A imagem é IR³ e o núcleo é (0,0,0); A matriz da transformação linear é $T(x,y,z)=\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]$.

a) Primeiramente, vamos determinar o núcleo da transformação.

Para isso, vamos igualar a transformação ao vetor nulo. Assim:

(x + y, x, x + y + z) = (0,0,0).

Então, obtemos o seguinte sistema:

{x + y = 0

{x = 0

{x + y + z = 0.

Da segunda equação, obtemos que x = 0. Substituindo esse valor na primeira equação, encontramos y = 0.

Substituindo os valores de x e y na terceira equação, obtemos z = 0.

Logo, o núcleo da transformação é N(T) = {(0,0,0)}.

Sabemos que dim IR³ = dim N(t) + dim Im(T).

Ou seja, 3 = 0 + dim Im(T) ∴ dim Im(T) = 3.

Isso quer dizer que a Imagem da transformação é o próprio IR³.

b) Para determinarmos a matriz da transformação, observe que:

(x + y, x, x + y + z) = x(1,1,1) + y(1,0,1) + z(0,0,1).

Então, a matriz da transformação será:

$T(x,y,z)=\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]$.