Question

4)A função y = c1 e-x + c2 x e-x é solução geral da equação diferencial y” + 2y’ + y = 0

Especifique os valores das constantes c1 e c2 de modo que a função y(x) satisfaça as condições iniciais y(0) = 2 e y’(0) = 1.

Assinale a alternativa correta.

Alternativas:

a)c1 = 1 e c2 = 1.

b)c1 = 1 e c2 = 1/2.

c)c1 = 2 e c2 = 3.

d)c1 = 1/2 e c2 = 1.

e)c1 = 1/2 e c2 = 3/2.

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre soluções de equações diferenciais e problemas de valor inicial.

Seja a equação diferencial $y''+2y'+y=0$, cuja solução assume a forma $y(x)=c_1\cdot e^{-x}+c_2\cdot xe^{-x}$, em que $c_1$ e $c_2$ são constantes reais.

Devemos determinar os valores das constantes $c_1$ e $c_2$ de modo que a solução desta equação diferencial satisfaça as seguintes condições iniciais: $y(0)=2$ e $y'(0)=1$.

Primeiro, calculamos $y(0)$:

$y(0)=c_1\cdot e^{-0}+c_2\cdot 0\cdot e^{-0}\\\\\\ 2 = c_1\cdot1+c_2\cdot0\\\\\\ c_1=2$

Então, diferenciamos ambos os lados da função $y(x)$ para encontrarmos sua primeira derivada $y'(x)$:

$(y(x))'=(c_1\cdot e^{-x}+c_2\cdot xe^{-x})'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada do produto entre duas funções é calculada pela regra do produto: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero. Com isso, vale-se dizer que a derivada do produto entre uma constante e uma função resulta em: $(a\cdot f(x))'= a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada da função exponencial é igual a própria função exponencial.

Aplique a regra da soma

$y'(x)=(c_1\cdot e^{-x})'+(c_2\cdot x\cdot e^{-x})'$

Aplique a regra do produto e da cadeia

$y'(x)=c_1\cdot (-x)'\cdot e^{-x}+c_2\cdot((x)'\cdot e^{-x}+x\cdot (-x)'\cdot e^{-x})$

Aplique a regra da constante e da potência

$y'(x)=c_1\cdot (-1)\cdot 1\cdot x^{1-1}\cdot e^{-x}+c_2\cdot(1\cdot x^{1-1}\cdot e^{-x}+x\cdot(-1)\cdot 1\cdot x^{1-1}\cdot e^{-x})\\\\\\ y'(x)=-c_1e^{-x}+c_2\cdot(e^{-x} - xe^{-x})$

Calculamos $y'(0)$, utilizando o dado que encontramos anteriormente:

$y'(0)=-c_1e^{-0}+c_2\cdot (e^{-0}+0\cdot e^{-0})\\\\\\ 1 = -2+c_2\cdot(1+0)\\\\\\ 1 = c_2-2$

Some $2$ em ambos os lados da igualdade

$c_2=3$

Com isso, conclui-se que a solução desta equação diferencial e problema de valor inicial é $y(x)=2e^{-x}+3xe^{-x}$ e a resposta correta é a letra c).