Question

4 - A área do triângulo ABC, de altura h = , sendo X = 30º e Y = 45º é igual a​

Answer 1

$\large \sf A \ \'area \ do \ tri\^angulo \ \'e: \ \dfrac {1}{6} \left( 2 \sqrt 3 + 6\right) \qquad (Alternativa \ B)$

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• Se h é altura do triângulo então no ponto H há dois ângulos retos. Pode-se portanto aplicar as razões trigonométricas no triângulo retângulo.

$\large \sf tangente = \dfrac{cateto \ oposto}{cateto \ adjacente}$

• Considere n o segmento AH e m o segmento HB.

• No triângulo CHB:

$\large \sf tg \ 45 ^\circ = \dfrac{m}{h}$

m = h ⋅ tg 45° ⟹ Sendo tg 45° = 1, substitua.

m = h ①

• No triângulo CAH:

$\large \sf tg \ 30 ^\circ = \dfrac{n}{h}$

n = h ⋅ tg 30° ⟹  $\large \sf Sendo \ tg \ 30 ^\circ = \dfrac{\sqrt 3}{3}, \ substitua.$

$\large \sf n = h \cdot \dfrac{\sqrt 3}{3}$  ②

• A área do triângulo é obtida por:

$\large \sf A = \dfrac{b \times h}{2}$  onde:

b: base do triângulo (n + m) ③.

h: altura do triângulo.

• Substitua as equações ①, ② e ③ na fórmula da área.

$\large \sf A = \dfrac{(n + m) \times h}{2}$

$\large \text { \sf A = \dfrac{\left(h \cdot \dfrac {\sqrt 3}{3} + h \right) \times h}{2} }$  ⟹ Fatore (fator comum em evidência).

$\large \text { \sf A = \dfrac{\left(\dfrac {\sqrt 3}{3} + 1 \right) \times h^2}{2} }$  ⟹ Execute a divisão por 2.

$\large \sf A = \left(\dfrac {\sqrt 3}{6} + \dfrac {1}{2} \right) \times h^2$   ⟹ Substitua h por √̅2̅.

$\large \sf A = \left(\dfrac {\sqrt 3}{6} + \dfrac {1}{2} \right) \times \sqrt {2} \ ^{^2}$

$\large \sf A = \left(\dfrac {\sqrt 3}{6} + \dfrac {1}{2} \right) \times 2$

$\large \sf A = \left(\dfrac {\sqrt 3}{3} + 1 \right)$

• Observe que:

$\large \sf \dfrac {1}{6} \left( 2 \sqrt 3 + 6\right) = \left(\dfrac {2 \sqrt 3}{6} + \dfrac {6}{6} \right) = \left(\dfrac {\sqrt 3}{3} + 1 \right)$

Resposta: Alternativa B.

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