Matemática, perguntado por yasminsoares088, 1 ano atrás

4,9,14 achar o 14 termo da PA

Soluções para a tarefa

Respondido por aflaviag

O primeiro termo (a1) é 4.
A razão a gente descobre fazendo um termo menos o seu anterior, então a2 - a12 = 9 - 4 = 5. Logo, r = 5.
Pelo termo geral da PA, temos:
an = a1 + (n-1)r
a14 = 4 + 13.5
a14 = 69

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (4, 9, 14,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:4

c)décimo quarto termo (a₁₄): ?

d)número de termos (n): 14 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 14ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do décimo quarto termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem, afastam-se do zero, particularmente à sua direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 9 - 4 ⇒

r = 5 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo quarto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₄ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₄ = 4 + (14 - 1) . (5) ⇒

a₁₄ = 4 + (13) . (5) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₄ = 4 + 65 ⇒

a₁₄ = 69

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 14º termo da P.A.(4, 9, 14,...) é 69.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₄ = 69 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo quarto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₄ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

69 = a₁ + (14 - 1) . (5) ⇒

69 = a₁ + (13) . (5) ⇒

69 = a₁ + 65 ⇒ (Passa-se 65 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

69 - 65 = a₁ ⇒

4 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 4 (Provado que a₁₄ = 69.)

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