Question

4. (2 pontos) Uma renda postecipada é constituída por oito prestações mensais de R$4.000,00, diferidas em três meses e com taxa de juros de 2% am. Determine o valor presente e o valor futuro para esta renda.

Answer 1

O valor presente é R$27.611,86 e o futuro será R$34.331,87.

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Temos um caso de Rendas, Séries ou Sequências Uniformes (SU), ou seja, temos um caso de financiamento a ser pago por parcelas (PMT) iguais ao longo de um período (n). Para esse tipo de cálculo é fundamental observar quando será feito o primeiro pagamento, pois:

• se o pagamento for feito no início do financiamento (como uma "entrada"), trata-se de uma Série Uniforme Antecipada;
• se o pagamento for feito depois de um determinado período do financiamento (sem uma "entrada"), trata-se de uma Série Uniforme Postecipada;

• se o pagamento for feito depois de um período igual ao superior a 2 meses, trata-se de uma Série Uniforme Diferida ou com carência. Essas séries podem ser antecipadas ou postecipadas, a depender de quando será feito o pagamento da parcela.

Uma renda diferida postecipada consiste em uma renda onde o pagamento das prestações começam depois de um determinado tempo, também chamado de período de diferimento (m). Nesse tipo de diferimento o pagamento é feito sempre no final do período - diferente do que acontece nas rendas diferidas antecipadas.

É importante ressaltar que período de diferimento é diferente de carência, pois:

• carência consiste em todo o período entre o início do investimento até o primeiro pagamento (272, Manuel). Nesse enunciado, por tratar de uma série postecipada, a carência seria igual ao diferimento mais um mês - ou seja, a carência iria ser igual a 4 meses.
• diferimento refere-se a uma certa quantidade de períodos em que as parcelas não deverão ser pagas. Por exemplo, nesse enunciado as parcelas não precisam serem pagas no final dos 3 primeiros períodos (no final do mês 1, 2 e 3),

Para facilitar a compreensão da diferença entre diferimento e carência, adicionei duas imagens em anexo que ilustram ambos os casos para esse enunciado.

Para o cálculo do valor presente em um situação de diferimento, podemos utilizar a seguinte fórmula:

$\mathsf{PV=\dfrac{1}{(1+i)^m}\cdot PMT\cdot \dfrac{(1+i)^n-1}{(1+i)^n\cdot i}}$

Onde:

PV: valor presente, o que desejamos saber;

PMT: valor das parcelas, 4.000;

i: taxa de juros, 2% a. m. ou 0,02;

n: quantidade de parcelas, 8;

m: quantidade de meses do diferimento, 3.

Para desenvolvermos o cálculos na fórmula, podemos utilizar do auxílio de uma calculadora. Teremos:

$\mathsf{PV=\dfrac{1}{(1+i)^m}\cdot PMT\cdot \dfrac{(1+i)^n-1}{(1+i)^n\cdot i}}\\\\\\ \mathsf{PV=\dfrac{1}{(1+0,02)^3}\cdot4.000\cdot \dfrac{(1+0,02)^8-1}{(1+0,02)^8\cdot0,02}}\\\\\\ \mathsf{PV=\dfrac{1}{(1,02)^3}\cdot4.000\cdot \dfrac{(1,02)^8-1}{(1,02)^8\cdot0,02}}\\\\\\ \mathsf{PV=\dfrac{1}{1,061208}\cdot4.000\cdot \dfrac{1,1716593810...-1}{1,1716593810...\cdot0,02}}\\\\\\ \mathsf{PV=0,9423223345...\cdot4.000\cdot \dfrac{1,1716593810...}{0,0234331876...}}\\\\\\ \mathsf{PV=3.769,2893381882...\cdot7,3254814405...}\\\\\\ \mathsf{PV=27.611,8590907510...\approxeq\underline{\mathsf{27.611,86}}}$

Para calcular o valor do valor futuro, podemos usar a fórmula que demonstro a seguir. A única diferença nas incógnitas está no FV, que significa "Valor Futuro". Teremos:

$\mathsf{FV=PMT\cdot\dfrac{(1+i)^n-1}{i}}$

Aplicando a fórmula, teremos:

$\mathsf{FV=PMT\cdot\dfrac{(1+i)^n-1}{i}}\\\\\\ \mathsf{FV=4.000\cdot\dfrac{(1+0,02)^8-1}{0,02}}\\\\\\ \mathsf{FV=4.000\cdot\dfrac{(1,02)^8-1}{0,02}}\\\\\\ \mathsf{FV=4.000\cdot\dfrac{1,1716593810...-1}{0,02}}\\\\\\ \mathsf{FV=4.000\cdot\dfrac{0,1716593810...}{0,02}}\\\\\\ \mathsf{FV=4.000\cdot8,5829690501...}\\\\\\ \mathsf{FV=34.331,8762004531...\approxeq\underline{\mathsf{34.331,87}}}$

O valor presente é R$27.611,86 e o futuro será R$34.331,87.