Question

32 Considere, num referencial ortonormado
Oxyz, os pontos P(-2, 0, 1) e Q(-1, 2, 3)
e a reta r definida pelo sistema de equações
paramétricas:
x=1+2
y=-2-3k, KER
z=-3-k
32.1. Verifique que o ponto P não pertence à
reta r.
32.2. Escreva uma equação vetorial da reta que
passa por P e é paralela à reta r.
32.3. Determine as coordenadas do ponto de in-
terseção da reta r com o plano xOy.
32.4. Determine uma equação vetorial da retat
que passa pelo ponto 0 e é paralela ao
eixo Ox.

Answer 1

Sejam os pontos definidos pela forma vetorial

$P = \left[\begin{array}{c}-2\\0\\1\end{array}\right]$            $Q = \left[\begin{array}{c}-1\\2\\3\end{array}\right]$

E a reta r definida também pela forma vetorial

$r: \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\\-2\\-3\end{array}\right] +k\left[\begin{array}{c}2\\-3\\-1\end{array}\right] , \:\:\: k\in\mathbb{R}$

32.1.

Um ponto pertence à reta r, se existe t tal que a equação de reta em t leva àquele ponto, ou seja, se P pertence à r, existe t tal que

$P = \left[\begin{array}{c}-2\\0\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\\-2\\-3\end{array}\right] +k\left[\begin{array}{c}2\\-3\\-1\end{array}\right]$

Em cada coordenada obtemos

$x: -2 = 1+2k \iff k = -1.5$

$y: 0=-2-3k \iff k = -\dfrac{2}{3}$

$z: 1=-3-k \iff k=-4$

Perceba que, para cada coordenada, o valor de k deve ser diferente, o que evidencia que o ponto P não pertence à reta r.

32.2

Se um ponto P₀ pertence à uma reta e sabemos o vetor v diretor da reta, podemos definir a reta r como

$r: \mathbf{P_0}+k\mathbf{v}, \:\:\:\: k\in\mathbb{R}$

Para definir a reta s em que o ponto P pertença à ela e seja paralela à reta r, portanto, com mesmo vetor diretor, é dado por

$s: \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-2\\0\\1\end{array}\right] +k\left[\begin{array}{c}2\\-3\\-1\end{array}\right] , \:\:\: k\in\mathbb{R}$

32.3

O plano xOy é o plano definido por z = 0, portanto, o ponto de intersecção de r com esse plano é tal que

$\left[\begin{array}{c}x_0\\y_0\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\\-2\\-3\end{array}\right] +k\left[\begin{array}{c}2\\-3\\-1\end{array}\right]$

Pela última coordenada obtemos o valor de k e assim encontramos o ponto,

$0 = -3-k \iff k = -3$

$\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\\-2\\-3\end{array}\right] -3\left[\begin{array}{c}2\\-3\\-1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-5\\7\\0\end{array}\right]$

32.4

Queremos definir a reta t tal que passa pelo ponto Q e é paralelo ao eixo x, portanto, possui vetor diretor dado por

$\mathbf{v}_t = \left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right]$

Assim, temos que a reta t é definida pela equação vetorial

$t: \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1\\2\\3\end{array}\right]+k\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right], \:\:\:\: k\in\mathbb{R}$