Matemática, perguntado por dheysonsilvaaumeida, 9 meses atrás

3°) Determine o décimo termo da P.A. (4, 7, 10,...)
(Dado: a, = a, +(n-1).r).

Soluções para a tarefa

Respondido por antoniosbarroso2011

Resposta:

a10 = 31

Explicação passo-a-passo:

A questão pede a10, assim

r = 7 - 4 = 3

Então

a10 = 4 + (10 - 1).3

a10 = 4 + 9.3

a10 = 4 + 27

a10 = 31

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (4, 7, 10,...), tem-se que:

a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 3 unidades (por exemplo, 7=4+3 e 10=7+3). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).

b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 4

d)décimo termo (a₁₀): ?

e)número de termos (n): 10

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 10ª), equivalente ao número de termos.

f)Embora não se saiba o valor do décimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, à direita deste, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero, haja vista que o terceiro termo é positivo e a ele e aos próximos será sempre somado um valor positivo.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 7 - 4 ⇒

r = 3 (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀ = 4 + (10 - 1) . (3) ⇒

a₁₀ = 4 + (9) . (3) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₀ = 4 + 27 ⇒

a₁₀ = 31

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

RESPOSTA: O décimo termo da P.A. (4, 7, 10, ...) é 31.

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VERIFICAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀ = 31 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

31 = a₁ + (10 - 1) . (3) ⇒

31 = a₁ + (9) . (3) ⇒

31 = a₁ + 27 ⇒

31 - 27 = a₁ ⇒

4 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 4 (Provado que a₁₀ = 31.)

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