Question

30) Determine
a) o 20° termo da PA (2,7,...)
b) o 7° Termo da PA (1, - 1,...)
c) o 100° termo da PA cujo 1° termo é 3 e a razão é nula
d) a quantidade de termos da PA (5,8,...,92)
e) a razão da PA (a¹,a²,...) em que a,=17 e a³²= -45

Answer 1

Vejamos:

a)
Possuímos uma PA (2, 7,...)
*Em fim, o que sabemos?

*)Pelo enunciado
PA (2, 7,...)
2 ------ primeiro termo (a1)
7 ------ segundo termo (a2)

*)Por dedução:
Razão de uma Progressão Aritmética (r) equivale a um termo subtraído de seu antecessor.
r = a2 - a1
r = 7 - 2
r = 5

Para se calcular o vigésimo termo, faremos uso da fórmula trivial para se obter elementos de uma PA:

an = a1 + (n - 1). r

an --- Valor de um Termo "n"
a1 ---- Valor do Termo "a1"
n ----- Posição do termo "an"
r ----- Razão

an = a1 + (n - 1). r
a20  = 2 + (20 - 1). 5
a20 = 2 + (19).5
a20 = 2 + 95
a20 = 97

O vigésimo termo dessa PA é 97.

O mesmo se aplica ao item seguinte:
b)
PA (1, -1, ...)

r = a2 - a1
r = -1 - (1)
r = -2

an = a1 + (n - 1). r
a7 = 1 + (7 - 1) . (-2)
a7 = 1 + (6).(-2)
a7 = 1 - 12
a7 = -11

O sétimo termo dessa PA é -11.

c)
O enunciado citou que o primeiro termo é 3 e que a razão é nula, vejamos o que ocorrerá com a aplicação da fórmula:

an = a1 + (n - 1). r
a100 = 3 + (100 - 1). 0
a100 = 3 + (99). 0
a100 = 3
O centésimo termo vale 3.
Obs: Sempre que a razão for nula, todos os termos de uma PA terão o mesmo valor.

d)
Nesse item é pedida a quantidade de termos... 
Façamos a introdução por meio do que sabemos:
PA (5, 8, ... 92)

r = a2 - a1
r = 3

r = 3
a1 = 5
a2 = 8 
an = 92

Veja que o valor 92 ocupa a posição final de nossa PA, ou seja, descobrindo o valor dessa posição "n", teremos a quantidade de termos contidos na PA.

an = a1 + (n - 1).r
92 = 5 + (n - 1). 3
92 - 5 = 3n - 3
87 + 3 = 3n
90 = 3n
n = 90/3
n = 30

Há trinta "30" termos nessa PA.

e)
PA(a1, a2,...)
a1 = 17
a32 = "an" = -45
n = 32

Para desvendar a razão usaremos novamente aquela fórmula:

an = a1 + (n - 1).r
-45 = 17 + (32 - 1). r
-45  - 17 = 31r
-62 = 31r
r = -62/31
r = -2

A razão é -2.