30. A medida "r" do raio, a altura "h" e a medida "g" de uma geratriz formam, nessa ordem,, uma PA de três termos e de razão 3. Determine a área total do cone com essas dimensões.
Soluções para a tarefa
Resposta:
At = 216π cm²
Explicação passo-a-passo:
Primeiro vamos trabalhar a PA (Progressão Aritmética) de acordo com o que o exercício fornece:
r(razão) = 3
r(raio) = a₁
h = r(raio) + 3
h = a₁ + 3
g = h + 3
g = (a₁ + 3)+ 3
g = a₁ + 6
g² = r² + h²
(a₁ + 6)² = a₁² + (a₁ + 3)²
a₁² + 12a₁ + 36 = a₁² + a₁² + 6a₁ + 9
a₁² + 12a₁ + 36 - 2a₁² - 6a₁ - 9 = 0
- a₁² + 6a₁ + 27 = 0
Usaremos bhaskara para realizar a operação:
Δ = b² - 4×a×c
Δ = 6² - 4×(-1)×27
Δ = 36 + 108
Δ = 144
a₁ = - b ± √Δ
2×a
a₁ = - 6 ± √144
2×(-1)
a₁ = - 6 ± 12
-2
a₁ = - 6 + 12 = -3
-2
a₁₍₂₎ = - 6 - 12 = 9
-2
Agora nas fórmulas da PA, iremos substituir o resultado "positivo", obtido no calculo de bhaskara:
r = a₁ = 9
h = a₁ + 3 = 9 + 3 = 12
g = a₁ + 6 = 9 + 6 = 15
Agora iremos utilizar a fórmula de área total de um cone:
At = π×r(g + r)
At = π×9(15 + 9)
At = π×9×24
At = 216π cm²
A área total desse cone é 216π cm².
Cálculo de áreas
A área de uma figura ou região é definida como a extensão da superfície ocupada pela figura em um plano. A área total de um cone é dada por:
A = πr·(r + g)
Se o raio, altura e geratriz formam uma PA de razão 3, então podemos escrever:
h = r + 3
g = r + 6
Esses três elementos formam um triângulo retângulo. Pelo teorema de Pitágoras:
g² = h² + r²
(r + 6)² = (r + 3)² + r²
r² + 12r + 36 = r² + 6r + 9 + r²
r² - 6r - 27 = 0
Pela fórmula de Bhaskara:
Δ = (-6)² - 4·1·(-27)
Δ = 144
r = [6 ± √144]/2·1
r = [6 ± 12]/2
r' = 9
r'' = -3
A área total do cone é:
A = π·9·(9 + 15)
A = 216π cm²
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