Question

3 - Um triângulo retângulo possui os seus dois catetos com a mesma medida x e a medida da sua hipotenusa é 15. Calcule o que se pede: a) Determine as medidas dos ângulos internos b e c; b) Calcule as medidas dos catetos deste triângulo.

Answer 1

a) Os ângulos internos são: 45°, 45º e 90°.

b) As medidas dos dois catetos são iguais e medem $x=\frac{15\sqrt{2} }{2}$ u.m.

Informação útil:

O teorema de Pitágoras relaciona a medida da hipotenusa com as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Esse teorema é definido pela fórmula:

$h^{2} =a^{2} +b^{2}$

Onde h representa a hipotenusa, a e b representa os catetos.

Explicação passo a passo:

a) A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180°. Em um triângulo retângulo, há um ângulo interno que é obrigatoriamente igual a 90°. Como os dois catetos desse triângulo tem a mesma medida, x, os dois outros ângulos internos têm a mesma medida, y. A medida y é:

180° = 90° + y + y ⇒ 180° - 90° = 2y ⇒ 2y = 90° ⇒ y = 45º

Logo, os ângulos internos são: 90°, 45° e 45º.

b) Sabendo que a hipotenusa mede 15 unidades de medida (u.m.), e que os dois catetos possuem a mesma medida, x, podemos calcular sua medida pelo teorema de Pitágoras. Assim, temos:

$15^{2} =x^{2} +x^{2}$ ⇒ $15^{2} =2x^{2}$ ⇒ $x=\sqrt{\frac{15^{2} }{2} }=\frac{15}{\sqrt{2} } =\frac{15}{\sqrt{2} } * \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} }$ ⇒ $x = \frac{15\sqrt{2} }{2}$ u.m.

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Answer 2

A) As medidas dos ângulos internos b e c são iguais a 45° e 45° respectivamente.

B) as medidas dos catetos deste triângulo são  iguais a 15√2/2 cm.

item A)

Geometria plana

A soma dos ângulos internos de um polígono regular é dado por:

S = (n – 2) . 180º

Sendo n igual ao número de lados do polígono.

O triângulo possuí 6 lados, desse modo, a soma dos ângulos internos do polígono é igual a :

S = (n – 2) . 180º ⇒ S = (6 – 2) . 180º ⇒ S = 1 . 180°

S = 180°

Como o triângulo mencionado na questão é retângulo, um de seus ângulos devem obrigatoriamente medir 90°. Além disso, como cada ângulo é diretamente proporcional a medida do cateto oposto, concluímos os outros dois ângulos possuem a mesma medida, pois o comprimento dos dois catetos são iguais.

Desse modo, temos:

180° = 90° + β + β  ⇒ 180° - 90° = 2β ⇒ 2β = 90° ⇒ β = 90°/2 ∴ β = 45°

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item B)

Trigonometria - teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras afirma que em um triângulo retângulo a soma da medida de seus catetos ao quadrado é igual à medida da hipotenusa ao quadrado:

h² = c₁² + c₂²

Sendo:

• h       = medida da hipotenusa
• c₁, c₂ = medida dos catetos

Ao analisar a imagem apresentada no exercício (ver figura em anexo), extraímos as seguintes informações:

• Comprimento da hipotenusa = 15cm
• Medida dos catetos                = ?cm
• Relação: c₁ = c₂

Desse modo, a medida dos catetos do triângulo retângulo será dada por:

h² = c₁² + c₂²; c₁ = c₂ ⇒ h² = c₁² +  c₁² ⇒ h² = 2c₁² ⇒ c₁ = √(h²/2)

c₁ = √(15²cm²/2) ⇒ c₁ = 15/√2 cm

(racionalizando)  ⇒  c₁ = 15/√2 cm . √2/√2 ∴  c₁ = 15√2/2 cm

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