Question

3. Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidade dada por p(x) = α2x, x = 1, ..., N, em que N ´e um inteiro positivo.

a) Determine o valor da constante α para qual a função p(x), é uma função de probabilidade.

b) Considere N = 4 e calcule

Answer 1

Seja X uma variável aleatória discreta, pelos axiomas de probabilidade, X assume uma função de densidade de probabilidade p(x) de modo que

$\displaystyle\sum_{x\in \Omega} p(x) = 1$

Onde Ω é o espaço amostral. Se nossa função de probabilidade está definida para x inteiros de 1 à N, teremos que

$\displaystyle\sum_{x=1}^N \alpha\cdot 2x = 1$

$\displaystyle2\alpha \sum_{x=1}^N x = 1$

Aqui utilizaremos o resultado da soma de x,

$2\alpha \dfrac{N(N+1)}{2} = 1$

$\alpha = \dfrac{1}{N(N+1)}$

Deste modo,

$p(x) = \dfrac{2x}{N(N+1)}$

Se N = 4, então,

$p(x) = \dfrac{x}{10}$