Question

3.








Se f(x) =
x².sen(1/x); se x≠0
0 se x = 0;
determine f'(0).Sugestão: Use o Teorema do Confronto.

Answer 1

$f(x)=\begin{cases}x^{2}\cdot sen(\frac{1}{x}),~x\neq0\\\\0,~x=0\end{cases}$

A derivada de f em um ponto (x,f(x)) qualquer é dada por

$f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Então, em x = 0, temos

$f'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(h)}{h}$

Como h ≠ 0, então f(h) = h²sen(1 / h):

$f'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{h^{2}sen(\frac{1}{h})}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}hsen\left(\dfrac{1}{h}\right)$

Note que, pela definição de seno,

$-1\le sen\left(\dfrac{1}{h}\right)\le1$

Vamos dividir em dois casos:

Se h > 0 e multiplicarmos todos os membros por h, temos

$-h\le hsen\left(\dfrac{1}{h}\right)\le h$

Como $\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}(-h)=\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}h=0$, então, pelo Teorema do Confronto, temos que

$\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}hsen\left(\dfrac{1}{h}\right)=0$

Agora, se h < 0 e fizermos o mesmo procedimento, temos

$-h\ge sen\left(\dfrac{1}{h}\right)\ge h~~~\therefore~~~h\le sen\left(\dfrac{1}{h}\right)\le -h$

Da mesma forma, $\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}(-h)=\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}h=0$, portanto, pelo Teorema do Confronto,

$\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}hsen\left(\dfrac{1}{h}\right)=0$

Como os limites laterais existem e são iguais, então

$\lim\limits_{h\rightarrow0}hsen\left(\dfrac{1}{h}\right)=0$

Portanto:

$f'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow0}hsen\left(\dfrac{1}{h}\right)\\\\\\\boxed{\boxed{f'(0)=0}}$