Question

3 questões de probabilidade e estatística.​

Answer 1

Questão 8: Um dado de seis faces é viciado, de modo que a probabilidade de sair número múltiplo de 3 é um terço da probabilidade de sair outro número. Se esse dado é lançado, a probabilidade de sair número maior que três é de?

Seja $P(X=o)$ a probabilidade da face sorteada ser diferente de 3 e diferente de 6.

De acordo com o enunciado:

$P(X = 3) = P(X = 6) = \dfrac{1}{3} \cdot P(X = o)$

Pois 3 e 6 são múltiplos de 3.

A soma de todas as probabilidades tem que ser 1:

$P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) = 1$

Ou seja:

$P(X=o) + P(X= o) + \dfrac{1}{3} \cdot P(X = o) + P(X = o) + P(X = o) + \dfrac{1}{3} \cdot P(X = o) = 1$

$4 \cdot P(X=o) + \dfrac{2}{3} \cdot P(X = o) = 1$

$\dfrac{12}{3} \cdot P(X=o) + \dfrac{2}{3} \cdot P(X = o) = 1$

$\dfrac{14}{3} \cdot P(X=o) = 1$

$P(X=o) = 1 \cdot \dfrac{3}{14}$

$P(X=o) = \dfrac{3}{14}$

Descobrimos a probabilidade da face sorteada não ser múltipla de 3.

A probabilidade de ser múltipla de 3 é um terço disso:

$P(X = 3) = P(X = 6) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{14} = \dfrac{1}{14}$

Agora, o exercício quer saber a probabilidade da face sorteada ser maior que três:

$P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)$

Substituindo:

$P(X>3) = \dfrac{3}{14} + \dfrac{3}{14} + \dfrac{1}{14}$

$P(X>3) = \dfrac{7}{14}$

$\boxed{P(X>3) = \dfrac{1}{2}}$

Questão 9: Em uma população de 100 alunos da UTFPR tivemos a seguinte divisão por altura.

Altura (cm):       h < 150    150 < h < 170     170 < h < 180    h > 180

Observações:    10                40                         40                10

Podemos afirmar com nível de 5% de significância que alunos da UTFPR seguem uma distribuição $\text{Altura} \backsim \text{Normal}(170,100)$ ?

(Farei mais tarde)

Questão 10: Seja X uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade:

$f(x) = \left \{ {{2 \cdot e^{-2\cdot x}, \text{ se } x \geq 0} \atop {0\text{, caso contrario}}} \right.$

Calcule $P(X > 3|X>2)$

Bem, perceba que aqui temos uma probabilidade condicional:

$P(A|B) = \dfrac{P(A \cdot B)}{P(B)}$

Assim:

$P(X > 3|X>2) = \dfrac{P(X > 3 \cdot X > 2)}{P(X>2)}$

A probabilidade de X ser maior que 3 e maior que 2 ao mesmo tempo é igual a probabilidade de X ser maior que 3, pois 3 é maior que 2:

$P(X > 3|X>2) = \dfrac{P(X > 3)}{P(X>2)}$

Ou seja:

$P(X > 3|X>2) = \dfrac{2 \cdot \int_{3}^{\infty}e^{-2\cdot x} \cdot dx}{2 \cdot \int_{2}^{\infty} e^{-2\cdot x} \cdot dx}$

Calculando as integrais:

$P(X > 3|X>2) = \dfrac{-\dfrac{1}{2} \cdot e^{-2\cdot x}\bigg|_{3}^{\infty}}{-\dfrac{1}{2} \cdot e^{-2\cdot x}\bigg|_{2}^{\infty}}$

$P(X > 3|X>2) = \dfrac{e^{-2\cdot \infty} - e^{-2 \cdot 3}}{e^{-2\cdot \infty}-e^{-2\cdot 2}}$

$P(X > 3|X>2) = \dfrac{0 - e^{-6}}{0-e^{-4}}$

$P(X > 3|X>2) = \dfrac{2.47875 \cdot 10^{-3}}{18.31564 \cdot 10^{-3}}$

$P(X > 3|X>2) = 0.135335$

Ou, aproximadamente, 13.5335%.