Question

3) (PUC-PR) Todo x do intervalo (0,2π] que satisfaz
16se ²X
a equação 5/4 senx = 1/64
pertence ao intervalo:
a) 0 SXS 72°
b) 72° SXS 144°
c) 144º SX S216
d) 216° SXS 288°
e) 288° SXS 360°​

Answer 1

Resposta: O intervalo que contém a única solução da equação trigonométrica proposta, no intervalo $[0,2\pi]$, é $72\textdegree\leq x\leq 144\textdegree$. Com isso, a alternativa b) está correta.

Explicação passo-a-passo:

A questão pede quais são os valores de x, pertencentes ao intervalo $[0,2\pi]$ e que satisfaçam a equação trigonométrica $\frac{16^{sen^{2}(x)}}{4^{5sen(x)}}=\frac{1}{64}$. Assim sendo, basta resolvê-la e encontrar qual intervalo, dentre os fornecidos pelas alternativas, que contém todas as soluções da equação acima. Logo, vamos à sua resolução:

$\frac{16^{sen^{2}(x)}}{4^{5sen(x)}}=\frac{1}{64}$ ⇒

$\frac{(4^{2})^{sen^{2}(x)}}{4^{5sen(x)}}=\frac{1}{4^{3}}$ ⇒

$\frac{4^{2sen^{2}(x)}}{4^{5sen(x)}}=4^{-3}$  ⇒

$4^{2sen^{2}(x)-5sen(x)}=4^{-3}$ ⇒

$2sen^{2}(x)-5sen(x)=-3$  ⇒

$2sen^{2}(x)-5sen(x)+3=0$  ⇒

$2sen^{2}(x)-2sen(x)-3sen(x)+3=0$  ⇒

$2sen(x)[sen(x)-1]-3[sen(x)-1]=0$  ⇒

$[2sen(x)-3][sen(x)-1]=0\ \ \ e\ \ -1 \leq sen(x) \leq 1$  ⇒

$sen(x)=1\ \ e\ \ 0\leq x\leq 2\pi$ ⇒

$x=90\textdegree$

Perceba que o único x pertencente ao intervalo real $0\leq x\leq 2\pi$ e que satisfaz a equação proposta é $x=90\textdegree$. Portanto, o único intervalo, dentre os fornecidos pelas alternativas, é $72\textdegree\leq x\leq 144\textdegree$, pois $72\textdegree\leq 90\textdegree\leq 144\textdegree$.

Abraços!

Answer 2

$\frac{16^{sen^2(x)}}{4^{5.sen(x)}} = \frac{1}{64} \\ \\ \frac{4^{2sen^2(x)}}{4^{5.sen(x)}} = (\frac{64}{1})^{-1} \\ \\ 4^{2sen^2(x) - 5sen(x)} = (4^3)^{-1} \\ \\ 4^{2sen^2(x) - 5sen(x)} = 4^{-3} \\ \\ 2sen^2(x) - 5sen(x) = -3  \\ 2sen^2(x) - 5sen(x) + 3 = 0 \\ sen(x) = y \\ 2y^2 - 5y + 3 = 0 \\ \\ x_1 + x_2 = \frac{5}{2} \\ \\ x_1.x_2 = \frac{3}{2} \\ \\ x_1 = 1 \\ x_2 = \frac{3}{2}$

Sabe-se que:

-1 ≤ sen(x) ≤ 1

Então sen(x) = 3/2 não é válido.

Para sen(x) = 1, eu tenho x = 90º ou x = π/2

O intervalo que atende uma dessas soluções é 72º ≤ x ≤ 144º, para x = 90