3) Obtenha a equação de reta tangente à curva no f(x) = -x 2 -2x no seu ponto de abscissa igual a 6
Soluções para a tarefa
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10
Vamos lá.
Veja, Emiliano, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como costumamos proceder em nossas respostas.
i) Pede-se para obter a equação da reta tangente à curva da função f(x) = - x² - 2x, no seu ponto de abscissa igual a 6 (ou seja, no ponto x = 6).
Veja: antes de iniciar, vamos ver qual será o valor da ordenada "y" quando a abscissa "x" for igual a "6". Para isso, substituiremos "x" por "6" na função dada [f(x) = - x²-2x]. Fazendo isso, teremos:
f(6) = -(6²) - 2*(6)
f(6) = -36 - 12
f(6) = - 48 <--- Esta é a ordenada do ponto de tangência da reta com a curva da função dada [f(x) = - x² - 2x]. Ou seja, o ponto de tangência será o ponto P(6; -48).
ii) Agora vamos encontrar a equação da reta que é tangente à curva.
Para isso, deveremos, primeiro, encontrar qual é a primeira derivada da função f(x) = - x² - 2x. Assim, encontrando a derivada, teremos:
f'(x) = - 2x - 2 <--- Esta é a primeira derivada da função da sua questão.
iii) Agora vamos encontrar qual é o coeficiente angular da reta que é tangente à curva. Para isso, basta irmos na primeira derivada acima encontrada e substituirmos o "x" por "6" para encontrarmos o coeficiente angular da reta. Assim, fazendo isso, teremos:
f'(6) = -2*6 - 2
f'(6) = - 12 - 2
f'(6) = - 14 <---- Este será o coeficiente angular (m) da equação da reta tangente à curva.
iv) Finalmente, agora vamos encontrar qual será a equação da reta pedida.
Antes veja que quando já se conhece o coeficiente angular (m) de uma reta e um ponto (x₀; y₀) por onde essa reta passa, então a sua equação será encontrada da seguinte forma:
y - y₀ = m*(x - x₀)
Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a reta que tem coeficiente angular igual a "-14" (m = -14) e que passa no ponto P(6; -48) terá a sua equação encontrada da seguinte forma:
y - (-48) = -14*(x - 6) ----- desenvolvendo, teremos:
y + 48 = - 14x + 84 ------ passando "48" para o 2º membro, teremos:
y = - 14x + 84 - 48
y = - 14x + 36 <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a equação reduzida da reta que é tangente à curva da função f(x) = - x² - 2x, no ponto de abscissa igual a "6".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, Emiliano, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como costumamos proceder em nossas respostas.
i) Pede-se para obter a equação da reta tangente à curva da função f(x) = - x² - 2x, no seu ponto de abscissa igual a 6 (ou seja, no ponto x = 6).
Veja: antes de iniciar, vamos ver qual será o valor da ordenada "y" quando a abscissa "x" for igual a "6". Para isso, substituiremos "x" por "6" na função dada [f(x) = - x²-2x]. Fazendo isso, teremos:
f(6) = -(6²) - 2*(6)
f(6) = -36 - 12
f(6) = - 48 <--- Esta é a ordenada do ponto de tangência da reta com a curva da função dada [f(x) = - x² - 2x]. Ou seja, o ponto de tangência será o ponto P(6; -48).
ii) Agora vamos encontrar a equação da reta que é tangente à curva.
Para isso, deveremos, primeiro, encontrar qual é a primeira derivada da função f(x) = - x² - 2x. Assim, encontrando a derivada, teremos:
f'(x) = - 2x - 2 <--- Esta é a primeira derivada da função da sua questão.
iii) Agora vamos encontrar qual é o coeficiente angular da reta que é tangente à curva. Para isso, basta irmos na primeira derivada acima encontrada e substituirmos o "x" por "6" para encontrarmos o coeficiente angular da reta. Assim, fazendo isso, teremos:
f'(6) = -2*6 - 2
f'(6) = - 12 - 2
f'(6) = - 14 <---- Este será o coeficiente angular (m) da equação da reta tangente à curva.
iv) Finalmente, agora vamos encontrar qual será a equação da reta pedida.
Antes veja que quando já se conhece o coeficiente angular (m) de uma reta e um ponto (x₀; y₀) por onde essa reta passa, então a sua equação será encontrada da seguinte forma:
y - y₀ = m*(x - x₀)
Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a reta que tem coeficiente angular igual a "-14" (m = -14) e que passa no ponto P(6; -48) terá a sua equação encontrada da seguinte forma:
y - (-48) = -14*(x - 6) ----- desenvolvendo, teremos:
y + 48 = - 14x + 84 ------ passando "48" para o 2º membro, teremos:
y = - 14x + 84 - 48
y = - 14x + 36 <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a equação reduzida da reta que é tangente à curva da função f(x) = - x² - 2x, no ponto de abscissa igual a "6".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
emilianosousa214:
Muito obrigado
Disponha, Emiliano, e bastante sucesso. Um cordial abraço.
E aí, Emiliano, era isso mesmo o que você esperava?
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