Question

3 - Determinar o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pela curva $y= \frac{1}{2} x^{2}$ pelo eixo do x e pelas retas x=1 e x=4

Answer 1

$y= \frac{1}{2}* x^2$

limitado pelas retas
x=1 e x=4 ....então esse é o intervalo porque são retas verticais

para girar em torno do eixo y vc usa a formula
$\boxed{\boxed{V=2\pi \int\limits^a_b {x*f(x)} \, dx }}$

substituindo a integral fica

$2\pi \int\limits^4_1 {x*( \frac{1}{2}*x^2) } \, dx \\\\ = 2\pi \int\limits^4_1 {( \frac{1}{2}*x^3) } \, dx$

como 1/2 é uma constante se vc quiser pode botar do lado de fora da integral

$\not 2\pi * \frac{1}{\not 2} \int\limits^4_1 {x^3 } \, dx\\\\= \pi \int\limits^4_1 {x^3 } \, dx$

resolvendo a integral
$\int\limits^4_1 {x^3 } \, dx \\\\ = | \frac{x^4}{4}|^4 _1 \\\\= ( \frac{4^4}{4} - \frac{1^4}{4}) \\\\=( \frac{256}{4}- \frac{1}{4} ) = \frac{255}{4}$

multiplicando esse resultado por π q ta do lado d fora da integral 
$Volume = \pi* \frac{255}{4} = \frac{255\pi}{4}$