Question

3) Dados A (x,3),B (-1,4) e C ( 5,2). obtenha x de modo que A seja equidistante de B e C.

Answer 1

$\bullet\;\;$ Encontrando a reta mediatriz do segmento $BC:$

( a reta mediatriz é a reta que passa pelo ponto médio do segmento e é perpendicular a este segmento )


Sendo $m$ o coeficiente angular do segmento $BC,$

e $M(x_{_{M}},\,y_{_{M}})$ o ponto médio deste segmento,

a equação da reta mediatriz de $BC$ é dada por

$r:~y-y_{_M}=-\,\dfrac{1}{m}\,(x-x_{_M})\\\\\\ r:~y-\dfrac{y_{_B}+y_{_C}}{2}=-\dfrac{\Delta x}{\Delta y}\cdot \left(x-\dfrac{x_{_B}+x_{_C}}{2}\right)\\\\\\ r:~y-\dfrac{y_{_B}+y_{_C}}{2}=\dfrac{x_{_B}-x_{_C}}{y_{_C}-y_{_B}}\cdot \left(x-\dfrac{x_{_B}+x_{_C}}{2}\right)~~~~~~(\text{onde }y_{_C}\ne y_{_B})\\\\\\ r:~y-\dfrac{4+2}{2}=\dfrac{-1-5}{2-4}\cdot \left(x-\dfrac{-1+5}{2}\right)\\\\\\ r:~y-\dfrac{6}{2}=\dfrac{-6}{-2}\cdot \left(x-\dfrac{4}{2}\right)\\\\\\ r:~y-3=3\cdot (x-2)\\\\ r:~y-3=3x-6\\\\ r:~y=3x-6+3\\\\ \boxed{\begin{array}{c}r:~y=3x-3 \end{array}}$

_____________

$\bullet\;\;$ Como $A$ é equidistante de $B$ e $C,$ então $A$ pertence à reta mediatriz do segmento $BC.$


Logo, as coordenadas de $A$ devem satisfazer a equação da reta $r:$

$A(x,\,3)\in r$


$y_{_A}=3x_{_A}-3\\\\ 3=3x-3\\\\ 3x=3+3\\\\ 3x=6\\\\ x=\dfrac{6}{3}\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}x=2 \end{array}}$


Bons estudos! :-)