Matemática, perguntado por andremarques13, 1 ano atrás

3) Dados A (x,3),B (-1,4) e C ( 5,2). obtenha x de modo que A seja equidistante de B e C.

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
3
\bullet\;\; Encontrando a reta mediatriz do segmento BC:

( a reta mediatriz é a reta que passa pelo ponto médio do segmento e é perpendicular a este segmento )


Sendo m o coeficiente angular do segmento BC,

e M(x_{_{M}},\,y_{_{M}}) o ponto médio deste segmento,

a equação da reta mediatriz de BC é dada por

r:~y-y_{_M}=-\,\dfrac{1}{m}\,(x-x_{_M})\\\\\\
 r:~y-\dfrac{y_{_B}+y_{_C}}{2}=-\dfrac{\Delta x}{\Delta y}\cdot 
\left(x-\dfrac{x_{_B}+x_{_C}}{2}\right)\\\\\\ 
r:~y-\dfrac{y_{_B}+y_{_C}}{2}=\dfrac{x_{_B}-x_{_C}}{y_{_C}-y_{_B}}\cdot 
\left(x-\dfrac{x_{_B}+x_{_C}}{2}\right)~~~~~~(\text{onde }y_{_C}\ne 
y_{_B})\\\\\\ r:~y-\dfrac{4+2}{2}=\dfrac{-1-5}{2-4}\cdot 
\left(x-\dfrac{-1+5}{2}\right)\\\\\\ 
r:~y-\dfrac{6}{2}=\dfrac{-6}{-2}\cdot \left(x-\dfrac{4}{2}\right)\\\\\\ 
r:~y-3=3\cdot (x-2)\\\\ r:~y-3=3x-6\\\\ r:~y=3x-6+3\\\\ 
\boxed{\begin{array}{c}r:~y=3x-3 \end{array}}

_____________

\bullet\;\; Como A é equidistante de B e C, então A pertence à reta mediatriz do segmento BC.


Logo, as coordenadas de A devem satisfazer a equação da reta r:

A(x,\,3)\in r


y_{_A}=3x_{_A}-3\\\\
 3=3x-3\\\\ 3x=3+3\\\\ 3x=6\\\\ x=\dfrac{6}{3}\\\\\\ 
\therefore~~\boxed{\begin{array}{c}x=2 \end{array}}


Bons estudos! :-)

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