Question

3) Calcule o que se pede em cada item:
a) Calcule k tal que senx = 1 + 4k e cos x = 1 + 2k.
b) Se cos x = 2senx, calcule senx.
c)
$se \: sen^{2} x \: - \: senx = 2 \: cos {}^{2} x. \: calcule \: cos \: x$

me ajudem por favor não estou entendo.​

Answer 1

a) Use a identidade:

$cos^2(x) + sen^2(x) = 1$

Substituindo:

$\left(1 + 2\cdot k\right)^2 + \left(1 + 4 \cdot k\right)^2 = 1$

$1 + 4\cdot k+ 4 \cdot k^2 + 1 + 8 \cdot k+ 16 \cdot k^2 = 1$

$20 \cdot k^2 + 12 \cdot k + 1 = 0$

Aplicando na equação de Bhaskara:

$k = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\cdot a \cdot c}}{2\cdot a}$

Com: a = 20, b = 12 e c = 1:

$k = \dfrac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4\cdot 20 \cdot 1}}{2\cdot 20}$

$k = \dfrac{-12 \pm \sqrt{144 - 80}}{40}$

$k = \dfrac{-12 \pm \sqrt{64}}{40}$

$k = \dfrac{-12 \pm 8}{40}$

$\boxed{k' = \dfrac{-12 + 8}{40} = -\dfrac{4}{40} = -\dfrac{1}{10}}$

$\boxed{k'' = \dfrac{-12 - 8}{40}=-\dfrac{20}{40} = - \dfrac{1}{2}}$

(b) Uso de novo a mesma identidade.

$sen^2(x) + (2 \cdot sen(x))^2 =1$

$sen^2(x) + 4 \cdot sen^2(x) = 1$

$5 \cdot sen^2(x) = 1$

$sen^2(x) = \dfrac{1}{5}$

$\boxed{sen(x) = \dfrac{1}{\sqrt{5}}}$

c) Passo o 2 dividindo para o outro lado:

$cos^2(x) = \dfrac{sen^2(x) - sen(x)}{2}$

Agora aplicando a mesma identidade de anteriormente:

$\dfrac{sen^2(x) - sen(x)}{2} + sen^2(x) = 1$

Deixando os denominadores iguais:

$\dfrac{sen^2(x) - sen(x)}{2} + \dfrac{2\cdot sen^2(x)}{2} = 1$

$sen^2(x) - sen(x) + 2\cdot sen^2(x) = 2$

$3 \cdot sen^2(x) - sen(x) = 2$

$3 \cdot sen^2(x) - sen(x) - 2 = 0$

Aplicando Bhaskara, com a = 3, b = -1 e c = -2:

$sen(x) = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4\cdot 3 \cdot (-2)}}{2\cdot 3}$

$sen(x) = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6}$

$sen(x) = \dfrac{1 \pm \sqrt{25}}{6}$

$sen(x) = \dfrac{1 \pm 5}{6}$

$sen(x)' = \dfrac{1 + 5}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$

$sen(x)'' = \dfrac{1-5}{6} = -\dfrac{4}{6} = - \dfrac{2}{3}$

Sabendo o valor de seno podemos descobrir quanto vale o cosseno:

$sen^2(x) + cos^2(x) = 1$

$cos^2(x) = 1 - sen^2(x)$

$cos(x) = \pm \sqrt{1 - sen^2(x)}$

$\boxed{cos'(x) = \pm \sqrt{1 - 1^2} = \pm \sqrt{1 - 1} = \pm \sqrt{0} = 0}$

$\boxed{cos''(x) = \pm \sqrt{1 - \left(-\dfrac{2}{3}\right)^2} = \pm \sqrt{1 -\dfrac{4}{9}} = \pm \sqrt{\dfrac{9}{9} -\dfrac{4}{9}} =\pm \sqrt{\dfrac{5}{9}} = \pm \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}} = \pm \dfrac{\sqrt{5}}{3}}$