Question

3. A área no primeiro quadrante da região delimitada pelas curvas y=4 e y=x2 é

Answer 1

Olá!

Lembre-se: a área abaixo de uma curva pode sempre ser calculada integrando-se a função que descreve a curva. Como queremos a área entre duas curvas, vamos subtrair a integral das duas funções dadas. Isto é:

$A=\int{4}\,\text{d}x-\int{x^2}\,\text{d}x$

Note que eu coloquei a função 4x com sinal positivo pois esta é sempre maior que a outra na região de integração (olhe a figura em anexo). Como o problema especifica apenas que devemos calcular a área no primeiro quadrante, vou supor que a integral vai de x=0 até o ponto onde as curvas se encontram. Vamos determinar esse ponto:

$x^2=4$
$x=\pm\sqrt{4}$
$x=\pm{2}$

Assim, como estamos tratando do primeiro quadrante, vamos integrar a função na região 0≤x≤2. Temos:

$A=\int_0^2{4}\,\text{d}x-\int_0^2{x^2}\,\text{d}x$
$A=\left.4x\right|_0^2-\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2$
$A=(4\cdot{2}-4\cdot{0})-(\frac{2^3}{3}-\frac{0^3}{3})$
$A=8-\frac{8}{3}$
$A=\frac{24-8}{3}$
$A=\frac{16}{3}$

Portanto, a área entre as curvas dadas equivale a 16/3 u.a.