Question

Dada por f(x)=x2+4x-5
Faça o estudo do sinal da função.
Alguém sabe como fazer?

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para fazer o estudo de sinais da função abaixo:

f(x) = x² + 4x - 5

Veja: primeiro vamos encontras as raízes desta equação do 2º grau. Após isso, faremos o estudo de sinais em função de suas raízes.
Assim, para encontrar as raízes,  faremos f(x) = 0, ficando:

x² + 4x - 5 = 0 ---- agora aplicando Bháskara, você encontra as seguintes raízes:

x' = -5
x'' = 1

Agora vamos estudar a variação de sinais da função dada:

f(x) = x²+4x-5 ... + + + + + + (-5)- - - - - - - - - - (1)+ + + + + + + + + +

Assim, como você poderá concluir pelo gráfico aí de cima, tem-se que:

i) f(x) > 0, para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja: para x < -5 e para x > 1.

ii) f(x) = 0, para valores de "x" iguais às raízes, ou seja: para x = -5; e para x = 1.

iii) f(x) < 0, para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja, para "x" situado no seguinte intervalo: -5 < x < 1.

Observação: a propósito, note isto: uma equação do 2º grau, da forma f(x)=ax²+bx+c, com raízes iguais a x' e x'', o estudo dos sinais dare-se-á da seguinte forma:

a) Para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes, ou seja para valores de x < x' e x > x'') a função terá o mesmo sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²).
b) Para valores de "x" iguais às raízes, a função será igual a zero (ou seja, para x = x'; e para x = x'')
c) Para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), a função terá sinal contrário ao do termo "a", ou seja, para valores de "x" no intervalo: x' < x < x''.

No caso da sua questão, note que o termo "a" é positivo (o termo "a", repetindo, é o coeficiente de x²). Logo, a função será positiva para valores de "x" extrarraízes (mesmo sinal do termo "a"); será igual a zero para valores de "x" iguais às raízes; e será negativa (sinal contrário ao do termo "a") para valores de "x" intrarraízes.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.