Question

2xydx+(x2-2)dy=0 please !

Answer 1

Olá


Equação Diferencial Ordinária por Variáveis Separáveis, Cálculo 2.



$\displaystyle \mathsf{ 2xydx+(x^2-2)dy=0 }\\\\\\\mathsf{(x^2-2)dy=-2xydx}\\\\\\\mathsf{ \frac{dy}{y} = \frac{-2x}{x^2-2}dx }\\\\\\\text{Integrando dos dois lados}\\\\\\\mathsf{ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{-2x}{x^2-2}dx }$


A primeira é muito simples, já que é uma integral tabelada

dy/y = ln|y|


A segunda integral sai por substituição udu

Vamos fazer essa segunda integral separada


$\displaystyle \mathsf{\int \frac{-2x}{x^2-2}dx }$

u = x² - 2
du = 2x


$\displaystyle \mathsf{-\int \frac{du}{u} }\\\\\\\mathsf{-\ell n |u|+C}\\\\\\\mathsf{u=x^2-2}\\\\\\\mathsf{-\ell n |x^2-2|+C}$


Voltando pra EDO



$\displaystyle \mathsf{ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{-2x}{x^2-2}dx }\\\\\\\mathsf{\ell n| y|~=~-\ell n|x^2-2|+C}$



Deixando o 'y' de forma explícita.


Vamos aplicar exponencial nos dois lados, com isso o ln cancelará com a exponencial.

Como 'c' é uma constante qualquer, podemos aplicar logaritmo natural nela, já que ela continuará sendo uma contante.

Fazendo isso



$\displaystyle\mathsf{e^{\ell n| y|}~=~e^{-\ell n|x^2-2|+\ell n|C|}}\\\\\\\text{Propriedade de logaritmo}\\\\\mathsf{\ell n (a)~-~\ell n(b)=\ell n\left( \frac{a}{b} \right)}\\\\\\\text{Aplicando essa propriedade}\\\\\\\mathsf{\ell n| y|~=~e^{ \ell n\left(\frac{C}{x^2-2\right)} }}\\\\\\\text{O log cancela com a exponecial e vice versa}\\\\\\\boxed{\mathsf{y= \frac{c}{x^2-2} }}$




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