Question

(2x+1)5 explicando binômio de newtons​

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Para realizar esse cálculo, vamos usar a fórmula do desenvolvimento do binômio de newton:

$\boxed{ \boxed{(a + b) {}^{n} = \sum^{n}_{p=0} \: {}^{n} C_p \: a {}^{n - p} .b {}^{p} }}$

A letra "n" simboliza o expoente do binômio.

A letra "p" representa a posição do termo.

A letra "a" representa o primeiro número do binômio.

A letra "b" representa o segundo número do binômio.

E por último temos a Letra Sigma (∑) que representa a soma de todas as combinações que faremos.

Vamos começa o cálculo:

$(2x + 1) {}^{5} = \binom{5}{0} .(2x) {}^{5} + \binom{5}{1} .(2x) {}^{4} .1 + \binom{5}{2} .(2x) {}^{3} .1 {}^{2} + \binom{5}{3} .(2x {})^{2} .1 {}^{3} + \binom{5}{4} .(2x) {}^{1} .1 {}^{4} + \binom{5}{5} .(2x) {}^{0} .1 {}^{5} \\ \\ (2 + 1) {}^{5} = 1.32x {}^{5} + 5.16x {}^{4} + 10.8x {}^{3} + 10.4x {}^{2} + 5.2x + 1 \\ \\ \boxed{ \boxed{ (2x + 1) {}^{5} = 32 {x}^{5} + 80 {x}^{4} + 80x {}^{3} + 40x {}^{2} + 10x + 1}}$

Resposta ↑

Agora vou fazer umas explicações sobre os cálculos dos binômios.

Vamos começar pelo primeiro :v.

Primeiro binômio:

$\binom{5}{0} = 1$

Esse é o valor desse binômio pois sempre que na parte debaixo do binômio for "0", o resultado será "1".

Segundo binômio:

$\binom{5}{1} = 5$

Quando a parte de baixo do binômio é 1, o resultado é o número que está acima dele, por isso o resultado é 5.

Terceiro binômio:

$\binom{5}{2} = \frac{5 ! }{2 !(5 - 2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 .4.3 ! }{2!3!} = \\ \\ = \frac{5.4}{2.1} = \frac{20}{2} = 10$

Para esse binômio, teremos que calcular o seu valor através da fórmula da combinação simples.

Quarto binômio:

$\binom{p}{q} \: e \: \binom{n}{q} \\ \\ \boxed{ p + q = n} \\ \\ \binom{5}{2} \: \: e \: \: \binom{5}{3} \rightarrow \: p + q = n \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 2 + 3 = 5 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 5 = 5 \: \\ \binom{5}{3} = 10$

O quarto binômio e o terceiro são completamentares, ou seja, possuem o mesmo valor.

Quinto binômio:

$\binom{5}{5} = 1$

Quando o número de cima é igual ao número de baixo, o resultado é igual a 1.

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️